Analyse du risque de défaillance des joints toriques de la navette Challenger
Table des matières
Le 27 Janvier 1986, veille du décollage de la navette Challenger, eu lieu une télé-conférence de trois heures entre les ingénieurs de la Morton Thiokol (constructeur d'un des moteurs) et de la NASA. La discussion portait principalement sur les conséquences de la température prévue au moment du décollage de 31°F (juste en dessous de 0°C) sur le succès du vol et en particulier sur la performance des joints toriques utilisés dans les moteurs. En effet, aucun test n'avait été effectué à cette température.
L'étude qui suit reprend donc une partie des analyses effectuées cette nuit là et dont l'objectif était d'évaluer l'influence potentielle de la température et de la pression à laquelle sont soumis les joints toriques sur leur probabilité de dysfonctionnement. Pour cela, nous disposons des résultats des expériences réalisées par les ingénieurs de la NASA durant les 6 années précédant le lancement de la navette Challenger.
1 Chargement des données
Nous commençons donc par charger ces données:
import numpy as np import pandas as pd data = pd.read_csv("shuttle.csv") data
Date Count Temperature Pressure Malfunction 0 4/12/81 6 66 50 0 1 11/12/81 6 70 50 1 2 3/22/82 6 69 50 0 3 11/11/82 6 68 50 0 4 4/04/83 6 67 50 0 5 6/18/82 6 72 50 0 6 8/30/83 6 73 100 0 7 11/28/83 6 70 100 0 8 2/03/84 6 57 200 1 9 4/06/84 6 63 200 1 10 8/30/84 6 70 200 1 11 10/05/84 6 78 200 0 12 11/08/84 6 67 200 0 13 1/24/85 6 53 200 2 14 4/12/85 6 67 200 0 15 4/29/85 6 75 200 0 16 6/17/85 6 70 200 0 17 7/29/85 6 81 200 0 18 8/27/85 6 76 200 0 19 10/03/85 6 79 200 0 20 10/30/85 6 75 200 2 21 11/26/85 6 76 200 0 22 1/12/86 6 58 200 1
Le jeu de données nous indique la date de l'essai, le nombre de joints toriques mesurés (il y en a 6 sur le lanceur principal), la température (en Fahrenheit) et la pression (en psi), et enfin le nombre de dysfonctionnements relevés.
2 Inspection graphique des données
Comment la fréquence d'échecs varie-t-elle avec la température ?
import matplotlib.pyplot as plt plt.clf() data["Frequency"]=data.Malfunction/data.Count data.plot(x="Temperature",y="Frequency",kind="scatter",ylim=[0,1]) plt.grid(True) plt.savefig(matplot_lib_filename) print(matplot_lib_filename)
Comment la fréquence d'échecs varie-t-elle avec la pression ?
import matplotlib.pyplot as plt plt.clf() data["Frequency"]=data.Malfunction/data.Count data.plot(x="Pressure",y="Frequency",kind="scatter",ylim=[0,1]) plt.grid(True) plt.savefig(matplot_lib_filename) print(matplot_lib_filename)
Avec si peu de points de pression, on ne peut pas étudier grand chose. De plus, visuellement, aucune relation n'a l'air de sauter aux yeux.
À première vue, ce n'est pas flagrant mais bon, essayons quand même d'estimer l'impact de la température \(t\) sur la probabilité de dysfonctionnements d'un joint.
3 Estimation de l'influence de la température
Supposons que chacun des 6 joints toriques est endommagé avec la même probabilité et indépendamment des autres et que cette probabilité ne dépend que de la température. Si on note \(p(t)\) cette probabilité, le nombre de joints \(D\) dysfonctionnant lorsque l'on effectue le vol à température \(t\) suit une loi binomiale de paramètre \(n=6\) et \(p=p(t)\). Pour relier \(p(t)\) à \(t\), on va donc effectuer une régression logistique.
import statsmodels.api as sm data["Intercept"]=1 logmodel=sm.GLM(data['Frequency'], data[ ['Intercept', 'Temperature'] ], family=sm.families.Binomial(sm.families.links.logit)).fit() logmodel.summary()
Generalized Linear Model Regression Results ============================================================================== Dep. Variable: Frequency No. Observations: 23 Model: GLM Df Residuals: 21 Model Family: Binomial Df Model: 1 Link Function: logit Scale: 1.0000 Method: IRLS Log-Likelihood: -3.9210 Date: Mon, 20 Jul 2020 Deviance: 3.0144 Time: 11:26:47 Pearson chi2: 5.00 No. Iterations: 6 Covariance Type: nonrobust =============================================================================== coef std err z P>|z| [0.025 0.975] ------------------------------------------------------------------------------- Intercept 5.0850 7.477 0.680 0.496 -9.570 19.740 Temperature -0.1156 0.115 -1.004 0.316 -0.341 0.110 ===============================================================================
L'estimateur le plus probable du paramètre de température est 0.0014 et l'erreur standard de cet estimateur est de 0.122, autrement dit on ne peut pas distinguer d'impact particulier et il faut prendre nos estimations avec des pincettes.
4 Estimation de la probabilité de dysfonctionnant des joints toriques
La température prévue le jour du décollage est de 31°F. Essayons d'estimer la probabilité de dysfonctionnement des joints toriques à cette température à partir du modèle que nous venons de construire:
import matplotlib.pyplot as plt data_pred = pd.DataFrame({'Temperature': np.linspace(start=30, stop=90, num=121), 'Intercept': 1}) prediction = logmodel.get_prediction(data_pred[ ['Intercept','Temperature'] ]).summary_frame() data_pred['Frequency'] = prediction["mean"] data_pred.plot(x="Temperature",y="Frequency",kind="line",ylim=[0,1]) plt.scatter(x=data["Temperature"], y=data["Frequency"]) plt.fill_between( data_pred["Temperature"], prediction["mean_ci_lower"], prediction["mean_ci_upper"], alpha=0.2, ) plt.grid(True) plt.savefig(matplot_lib_filename) print(matplot_lib_filename)
Hmm, l'intervalle de confiance semble très grand. Peut-on déduire quoi que ce soit de ces données ?