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@@ -12,4 +12,33 @@ Mon ordinateur m’indique que π vaut _approximativement_
 `## [1] 3.141593`
 
 # __En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon__
-Mais calculé avec la **méthode** des aiguilles de Buffon, on obtiendrait comme **approximation** :
\ No newline at end of file
+Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](url), on obtiendrait comme **approximation** :
+
+```
+set.seed(42)
+N = 100000
+x = runif(N)
+theta = pi/2*runif(N)
+2/(mean(x+sin(theta)>1))
+```
+`## [1] 3.14327`
+`## [1] 3.156`
+
+# __Avec un argument “fréquentiel” de surface__
+
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si X∼U(0,1) X∼U(0,1) et 
+Y∼U(0,1)Y∼U(0,1) alors P[X2+Y2≤1]=π/4P[X2+Y2≤1]=π/4(voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia)](url). Le code suivant illustre ce fait:
+
+
+```
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+```
+Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois, en moyenne, X2+Y2 est inférieur à 1:
+
+`4*mean(df$Accept)`
+