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title: "À propos du calcul de pi"
author: "Arnaud Legrand"
date: "25 juin 2018"
output: html_document
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

# En demandant à la lib maths
Mon ordinateur m'indique que *$\pi$* vaut *approximativement*
```{r}
pi
```

# En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon 
Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximativement**:
```{r}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

# Avec un argument "fréquentiel" de surface 
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus de base sur le fait que si *X*~*U*(0,1) rt *Y*~*U*(0,1) alors *P*[*X*2+*Y*2≤1]=*π*/4 (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Monte-Carlo#Détermination_de_la_valeur_de_π)). Le code suivant illustre ce fait:
```{r}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```
Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de *$\pi$* en comptant combien de fois, en moyenne *X*2+*Y*2 est inférieur à 1 :
```{R}
4*mean(df$Accept)
```