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\documentclass[11pt]{article}
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\author{Adam Taheraly\thanks{taheraly.adam@gmail.com}}
\date{Lundi 30 Mars}
\title{À propros du calcul de \(\pi\)}
\hypersetup{
 pdfauthor={Adam Taheraly},
 pdftitle={À propros du calcul de \(\pi\)},
 pdfkeywords={MOOC-RR exo1},
 pdfsubject={Exercice Mooc RR sur le calcul de \(\pi\)},
 pdfcreator={Emacs 26.3 (Org mode 9.1.9)}, 
 pdflang={Frenchb}}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents


\section{En demandant à la lib maths}
\label{sec:orgc4eb4d4}
Mon ordinateur m'indique que \(\pi\) vaut \emph{approximativement}

\begin{verbatim}
pi
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
[1] 3.141593
\end{verbatim}

\section{En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon}
\label{sec:org3a95611}
Mais calculé avec la \textbf{méthode} des \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille\_de\_Buffon}{aiguilles de Buffon}, on obtiendrait
comme \textbf{approximation} :

\begin{verbatim}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
\end{verbatim}

\begin{verbatim}

[1] 3.14327
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
[1] 3.14327
\end{verbatim}

\section{Avec un argument "fréquentiel" de surface}
\label{sec:org757811b}
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas
intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que
si \(X \sim U(0,1)\) et \(Y \sim
U(0,1)\) alors \(P[X^{2} + Y^{2} \le 1] = \pi/4\)
(voir \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/M\%C3\%A9thode\_de\_Monte-Carlo\#D\%C3\%A9termination\_de\_la\_valeur\_de\_\%CF\%80}{méthode
de Monte Carlo sur Wikipédia}). Le code suivant illustre ce fait :

\begin{verbatim}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
\end{verbatim}

\begin{center}
\includegraphics[width=.9\linewidth]{/tmp/babel-A2ZKik/figureoqEQiY.png}
\end{center}

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \(\pi\) en
comptant combien de fois, en moyenne, \(X^{2} + Y^{2}\)
est inférieur à 1 :

\begin{verbatim}
4*mean(df$Accept)
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
[1] 3.156
\end{verbatim}
Emacs 26.3 (Org mode 9.1.9)
\end{document}