Analyse du risque de défaillance des joints +toriques de la navette Challenger
+Arnaud Legrand
+28 juin 2018
+ +Le 27 Janvier 1986, veille du décollage de la navette +Challenger, eu lieu une télé-conférence de trois heures entre +les ingénieurs de la Morton Thiokol (constructeur d’un des moteurs) et +de la NASA. La discussion portait principalement sur les conséquences de +la température prévue au moment du décollage de 31°F (juste en dessous +de 0°C) sur le succès du vol et en particulier sur la performance des +joints toriques utilisés dans les moteurs. En effet, aucun test n’avait +été effectué à cette température.
+L’étude qui suit reprend donc une partie des analyses effectuées +cette nuit là et dont l’objectif était d’évaluer l’influence potentielle +de la température et de la pression à laquelle sont soumis les joints +toriques sur leur probabilité de dysfonctionnement. Pour cela, nous +disposons des résultats des expériences réalisées par les ingénieurs de +la NASA durant les 6 années précédant le lancement de la navette +Challenger.
+Chargement des données
+Nous commençons donc par charger ces données:
+data = read.csv("shuttle.csv",header=T)
+data## Date Count Temperature Pressure Malfunction
+## 1 4/12/81 6 66 50 0
+## 2 11/12/81 6 70 50 1
+## 3 3/22/82 6 69 50 0
+## 4 11/11/82 6 68 50 0
+## 5 4/04/83 6 67 50 0
+## 6 6/18/82 6 72 50 0
+## 7 8/30/83 6 73 100 0
+## 8 11/28/83 6 70 100 0
+## 9 2/03/84 6 57 200 1
+## 10 4/06/84 6 63 200 1
+## 11 8/30/84 6 70 200 1
+## 12 10/05/84 6 78 200 0
+## 13 11/08/84 6 67 200 0
+## 14 1/24/85 6 53 200 2
+## 15 4/12/85 6 67 200 0
+## 16 4/29/85 6 75 200 0
+## 17 6/17/85 6 70 200 0
+## 18 7/29/85 6 81 200 0
+## 19 8/27/85 6 76 200 0
+## 20 10/03/85 6 79 200 0
+## 21 10/30/85 6 75 200 2
+## 22 11/26/85 6 76 200 0
+## 23 1/12/86 6 58 200 1Le jeu de données nous indique la date de l’essai, le nombre de +joints toriques mesurés (il y en a 6 sur le lançeur principal), la +température (en Farenheit) et la pression (en psi), et enfin le nombre +de dysfonctionnements relevés.
+Inspection graphique des données
+Très bien, nous avons une variabilité de température importante mais +la pression est quasiment toujours égale à 200, ce qui devrait +simplifier l’analyse.
+Comment la fréquence d’échecs varie-t-elle avec la température ?
+plot(data=data, Malfunction/Count ~ Temperature, ylim=c(0,1))
À première vue, ce n’est pas flagrant mais bon, essayons quand même +d’estimer l’impact de la température \(t\) sur la probabilité de +dysfonctionnements d’un joint.
+Estimation de l’influence de la température
+Supposons que chacun des 6 joints toriques est endommagé avec la même +probabilité et indépendamment des autres et que cette probabilité ne +dépend que de la température. Si on note \(p(t)\) cette probabilité, le nombre de +joints \(D\) dysfonctionnant lorsque +l’on effectue le vol à température \(t\) suit une loi binomiale de paramètre +\(n=6\) et \(p=p(t)\). Pour relier \(p(t)\) à \(t\), on va donc effectuer une régression +logistique.
+logistic_reg = glm(data=data, Malfunction/Count ~ Temperature, weights=Count,
+ family=binomial(link='logit'))
+summary(logistic_reg)##
+## Call:
+## glm(formula = Malfunction/Count ~ Temperature, family = binomial(link = "logit"),
+## data = data, weights = Count)
+##
+## Deviance Residuals:
+## Min 1Q Median 3Q Max
+## -0.95227 -0.78299 -0.54117 -0.04379 2.65152
+##
+## Coefficients:
+## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
+## (Intercept) 5.08498 3.05247 1.666 0.0957 .
+## Temperature -0.11560 0.04702 -2.458 0.0140 *
+## ---
+## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
+##
+## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
+##
+## Null deviance: 24.230 on 22 degrees of freedom
+## Residual deviance: 18.086 on 21 degrees of freedom
+## AIC: 35.647
+##
+## Number of Fisher Scoring iterations: 5L’estimateur le plus probable du paramètre de température est +0.001416 et l’erreur standard de cet estimateur est de 0.049, autrement +dit on ne peut pas distinguer d’impact particulier et il faut prendre +nos estimations avec des pincettes.
+Estimation de la probabilité de dysfonctionnant des joints +toriques
+La température prévue le jour du décollage est de 31°F. Essayons +d’estimer la probabilité de dysfonctionnement des joints toriques à +cette température à partir du modèle que nous venons de construire:
+# shuttle=shuttle[shuttle$r!=0,]
+tempv = seq(from=30, to=90, by = .5)
+rmv <- predict(logistic_reg,list(Temperature=tempv),type="response")
+plot(tempv,rmv,type="l",ylim=c(0,1))
+points(data=data, Malfunction/Count ~ Temperature)
Comme on pouvait s’attendre au vu des données initiales, la +température n’a pas d’impact notable sur la probabilité d’échec des +joints toriques. Elle sera d’environ 0.2, comme dans les essais +précédents où nous il y a eu défaillance d’au moins un joint. Revenons à +l’ensemble des données initiales pour estimer la probabilité de +défaillance d’un joint:
+data_full = read.csv("shuttle.csv",header=T)
+sum(data_full$Malfunction)/sum(data_full$Count)## [1] 0.06521739Cette probabilité est donc d’environ \(p=0.065\), sachant qu’il existe un joint +primaire un joint secondaire sur chacune des trois parties du lançeur, +la probabilité de défaillance des deux joints d’un lançeur est de \(p^2 \approx 0.00425\). La probabilité de +défaillance d’un des lançeur est donc de \(1-(1-p^2)^3 \approx 1.2%\). Ça serait +vraiment pas de chance… Tout est sous contrôle, le décollage peut donc +avoir lieu demain comme prévu.
+Seulement, le lendemain, la navette Challenger explosera et emportera +avec elle ses sept membres d’équipages. L’opinion publique est fortement +touchée et lors de l’enquête qui suivra, la fiabilité des joints +toriques sera directement mise en cause. Au delà des problèmes de +communication interne à la NASA qui sont pour beaucoup dans ce fiasco, +l’analyse précédente comporte (au moins) un petit problème… Saurez-vous +le trouver ? Vous êtes libre de modifier cette analyse et de regarder ce +jeu de données sous tous les angles afin d’expliquer ce qui ne va +pas.
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