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title: "A propos du calcul de pi"
author: "Lea Chevalier"
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date: "04 Octobre 2022"
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date: "04 octobre 2022"
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output: html_document
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```{r setup, include=FALSE}	
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)	
```

##En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m'indique que $\pi vaut *approximativement*
```{r cars}
pi
```

## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :

```{r cars}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```
## Avec un argument fréquentiel de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si X &\sim {\sf U}(0, 1) \\
et Y &\sim {\sf U}(0, 1) \\ alors $\mathrm{P}(X² + Y² \le 1) = (pi/4)$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait:
Et on peut aussi aisément inclure des figures. Par exemple:

```{r cars}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```
Maintenant, à vous de jouer! Vous pouvez effacer toutes ces informations et les remplacer par votre document computationnel.
Il est alors aisé d'obteni une approximation (pas terrible) de $\pi en comptant combien de fois, en moyen ***X²+Y²*** est inférieur à 1:
```{r cars}
4*mean(df$Accept)
```