#+TITLE:  À propos du calcul de $\pi$
#+AUTHOR: François Févotte
#+DATE:   2020-04-06
#+LANGUAGE: fr
# #+PROPERTY: header-args :eval never-export

#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
#+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>

* En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut /approximativement/ :
#+begin_src python :results value :exports both :session
  from math import *
  pi
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.141592653589793

* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait comme
*approximation* :
#+BEGIN_SRC python :results value :exports both :session
  import numpy as np
  np.random.seed(seed=42)
  N = 10000
  x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
  theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
  2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)
#+END_SRC

#+RESULTS:
: 3.128911138923655

* Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel
à la fonction sinus se base sur le fait que si $X \sim U(0,1)$ et $Y \sim
U(0,1)$ alors $P\left[X^2 + Y^2 \leq 1\right] = \pi/4$ (voir [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80][méthode de Monte
Carlo sur Wikipedia]]). Le code suivant illustre ce fait :
#+BEGIN_SRC python :results output file :exports both :session :var matplot_lib_filename="montecarlo.png"
  import matplotlib.pyplot as plt

  np.random.seed(seed=42)
  N = 1000
  x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
  y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)

  accept = (x*x+y*y) <= 1
  reject = np.logical_not(accept)

  fig, ax = plt.subplots(1)
  ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
  ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
  ax.set_aspect('equal')

  plt.savefig(matplot_lib_filename)
  print(matplot_lib_filename)
#+END_SRC

#+RESULTS:
[[file:montecarlo.png]]

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en
comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :
#+BEGIN_SRC python :results value :exports both :session
  4*np.mean(accept)
#+END_SRC

#+RESULTS:
: 3.112
