#+TITLE: Analyse du risque de défaillance des joints toriques de la navette Challenger
#+AUTHOR: Arnaud Legrand
#+LANGUAGE: fr

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#+LATEX_HEADER: \usepackage{a4}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[french]{babel}

# #+PROPERTY: header-args  :session  :exports both

Le 27 Janvier 1986, veille du décollage de la navette /Challenger/, eu
lieu une télé-conférence de trois heures entre les ingénieurs de la
Morton Thiokol (constructeur d'un des moteurs) et de la NASA. La
discussion portait principalement sur les conséquences de la
température prévue au moment du décollage de 31°F (juste en dessous de
0°C) sur le succès du vol et en particulier sur la performance des
joints toriques utilisés dans les moteurs. En effet, aucun test
n'avait été effectué à cette température.

L'étude qui suit reprend donc une partie des analyses effectuées cette
nuit là et dont l'objectif était d'évaluer l'influence potentielle de
la température et de la pression à laquelle sont soumis les joints
toriques sur leur probabilité de dysfonctionnement. Pour cela, nous
disposons des résultats des expériences réalisées par les ingénieurs
de la NASA durant les 6 années précédant le lancement de la navette
Challenger.

* Chargement des données
Nous commençons donc par charger ces données:
#+begin_src python :results value :session *python* :exports both
import numpy as np
import pandas as pd
data = pd.read_csv("shuttle.csv")
data
#+end_src

#+RESULTS:
#+begin_example
        Date  Count  Temperature  Pressure  Malfunction
0    4/12/81      6           66        50            0
1   11/12/81      6           70        50            1
2    3/22/82      6           69        50            0
3   11/11/82      6           68        50            0
4    4/04/83      6           67        50            0
5    6/18/82      6           72        50            0
6    8/30/83      6           73       100            0
7   11/28/83      6           70       100            0
8    2/03/84      6           57       200            1
9    4/06/84      6           63       200            1
10   8/30/84      6           70       200            1
11  10/05/84      6           78       200            0
12  11/08/84      6           67       200            0
13   1/24/85      6           53       200            2
14   4/12/85      6           67       200            0
15   4/29/85      6           75       200            0
16   6/17/85      6           70       200            0
17   7/29/85      6           81       200            0
18   8/27/85      6           76       200            0
19  10/03/85      6           79       200            0
20  10/30/85      6           75       200            2
21  11/26/85      6           76       200            0
22   1/12/86      6           58       200            1
#+end_example

Le jeu de données nous indique la date de l'essai, le nombre de joints
toriques mesurés (il y en a 6 sur le lançeur principal), la
température (en Fahrenheit) et la pression (en psi), et enfin le
nombre de dysfonctionnements relevés. 

* Inspection graphique des données

# Les vols où aucun incident n'est relevé n'apportant aucune information
# sur l'influence de la température ou de la pression sur les
# dysfonctionnements, nous nous concentrons sur les expériences où au
# moins un joint a été défectueux.

# #+begin_src python :results value :session *python* :exports both
#   data = data[data.Malfunction>0]
#   data
# #+end_src

# #+RESULTS:
# #+begin_example
#         Date  Count  Temperature  Pressure  Malfunction
# 0    4/12/81      6           66        50            0
# 1   11/12/81      6           70        50            1
# 2    3/22/82      6           69        50            0
# 3   11/11/82      6           68        50            0
# 4    4/04/83      6           67        50            0
# 5    6/18/82      6           72        50            0
# 6    8/30/83      6           73       100            0
# 7   11/28/83      6           70       100            0
# 8    2/03/84      6           57       200            1
# 9    4/06/84      6           63       200            1
# 10   8/30/84      6           70       200            1
# 11  10/05/84      6           78       200            0
# 12  11/08/84      6           67       200            0
# 13   1/24/85      6           53       200            2
# 14   4/12/85      6           67       200            0
# 15   4/29/85      6           75       200            0
# 16   6/17/85      6           70       200            0
# 17   7/29/85      6           81       200            0
# 18   8/27/85      6           76       200            0
# 19  10/03/85      6           79       200            0
# 20  10/30/85      6           75       200            2
# 21  11/26/85      6           76       200            0
# 22   1/12/86      6           58       200            1
# #+end_example

Très bien, nous avons une variabilité de température importante mais
la pression est quasiment toujours égale à 200, ce qui devrait
simplifier l'analyse.

Comment la fréquence d'échecs varie-t-elle avec la température ?
#+begin_src python :results output file :var matplot_lib_filename="freq_temp_python.png" :exports both :session *python* 
import matplotlib.pyplot as plt

plt.clf()
data["Frequency"]=data.Malfunction/data.Count
data.plot(x="Temperature",y="Frequency",kind="scatter",ylim=[0,1])
plt.grid(True)

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)
#+end_src

#+RESULTS:
[[file:freq_temp_python.png]]

À première vue, ce n'est pas flagrant mais bon, essayons quand même
d'estimer l'impact de la température $t$ sur la probabilité de
dysfonctionnements d'un joint. 

* Estimation de l'influence de la température

Supposons que chacun des 6 joints toriques est endommagé avec la même
probabilité et indépendamment des autres et que cette probabilité ne
dépend que de la température. Si on note $p(t)$ cette probabilité, le
nombre de joints $D$ dysfonctionnant lorsque l'on effectue le vol à
température $t$ suit une loi binomiale de paramètre $n=6$ et
$p=p(t)$. Pour relier $p(t)$ à $t$, on va donc effectuer une
régression logistique.

#+begin_src python :results value :session *python* :exports both
import statsmodels.api as sm

data["Success"]=data.Count-data.Malfunction
data["Intercept"]=1


# logit_model=sm.Logit(data["Frequency"],data[["Intercept","Temperature"]]).fit() 
logmodel=sm.GLM(data['Frequency'], data[['Intercept','Temperature']], family=sm.families.Binomial(sm.families.links.logit)).fit()

logmodel.summary()
#+end_src

#+RESULTS:
#+begin_example
                 Generalized Linear Model Regression Results                  
==============================================================================
Dep. Variable:              Frequency   No. Observations:                   23
Model:                            GLM   Df Residuals:                       21
Model Family:                Binomial   Df Model:                            1
Link Function:                  logit   Scale:                          1.0000
Method:                          IRLS   Log-Likelihood:                -3.9210
Date:                Thu, 09 Apr 2020   Deviance:                       3.0144
Time:                        12:50:13   Pearson chi2:                     5.00
No. Iterations:                     6                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
===============================================================================
                  coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
-------------------------------------------------------------------------------
Intercept       5.0850      7.477      0.680      0.496      -9.570      19.740
Temperature    -0.1156      0.115     -1.004      0.316      -0.341       0.110
===============================================================================
#+end_example

# L'estimateur le plus probable du paramètre de température est 0.0014
# et l'erreur standard de cet estimateur est de 0.122, autrement dit on
# ne peut pas distinguer d'impact particulier et il faut prendre nos
# estimations avec des pincettes.

* Estimation de la probabilité de dysfonctionnant des joints toriques
La température prévue le jour du décollage est de 31°F. Essayons
d'estimer la probabilité de dysfonctionnement des joints toriques à
cette température à partir du modèle que nous venons de construire:

#+begin_src python :results output file :var matplot_lib_filename="proba_estimate_python.png" :exports both :session *python* 
import matplotlib.pyplot as plt

data_pred = pd.DataFrame({'Temperature': np.linspace(start=30, stop=90, num=121), 'Intercept': 1})
data_pred['Frequency'] = logmodel.predict(data_pred[['Intercept','Temperature']])
data_pred.plot(x="Temperature",y="Frequency",kind="line",ylim=[0,1])
plt.scatter(x=data["Temperature"],y=data["Frequency"])
plt.grid(True)

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)
#+end_src

#+RESULTS:
[[file:proba_estimate_python.png]]

D'après cette analyse, la probabilité d'échec des joints toriques serait
supérieure à 80% à pour une température de 31°F.

# Comme on pouvait s'attendre au vu des données initiales, la
# température n'a pas d'impact notable sur la probabilité d'échec des
# joints toriques. Elle sera d'environ 0.2, comme dans les essais
# précédents où nous il y a eu défaillance d'au moins un joint. Revenons
# à l'ensemble des données initiales pour estimer la probabilité de
# défaillance d'un joint:

# #+begin_src python :results output :session *python* :exports both
# data = pd.read_csv("shuttle.csv")
# print(np.sum(data.Malfunction)/np.sum(data.Count))
# #+end_src

# #+RESULTS:
# : 0.06521739130434782

# Cette probabilité est donc d'environ $p=0.065$, sachant qu'il existe
# un joint primaire un joint secondaire sur chacune des trois parties du
# lançeur, la probabilité de défaillance des deux joints d'un lançeur
# est de $p^2 \approx 0.00425$. La probabilité de défaillance d'un des
# lançeur est donc de $1-(1-p^2)^3 \approx 1.2%$.  Ça serait vraiment
# pas de chance... Tout est sous contrôle, le décollage peut donc avoir
# lieu demain comme prévu.

# Seulement, le lendemain, la navette Challenger explosera et emportera
# avec elle ses sept membres d'équipages. L'opinion publique est
# fortement touchée et lors de l'enquête qui suivra, la fiabilité des
# joints toriques sera directement mise en cause. Au delà des problèmes
# de communication interne à la NASA qui sont pour beaucoup dans ce
# fiasco, l'analyse précédente comporte (au moins) un petit
# problème... Saurez-vous le trouver ? Vous êtes libre de modifier cette
# analyse et de regarder ce jeu de données sous tous les angles afin
# d'expliquer ce qui ne va pas.

# Local Variables:
# org-babel-python-command: "/home/francois/.julia/conda/3/bin/python"
# org-confirm-babel-evaluate: nil
# End: