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title: "À propos du calcul de pi"
author: "Arnaud Legrand"
date: "25 juin 2018"
output: html_document
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# En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m’indique que $\pi$ vaut approximativement

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pi
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##[1] 3.141595
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# En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la **méthode** des [ aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait
comme **approximation** :

```{r}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

#Avec un argument “fréquentiel” de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel
à la fonction sinus se base sur le fait que si *X∼U(0,1)*
 et $Y∼U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2 ≤1]= \pi/4$ voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia ]
 (https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80). Le code suivant illustre ce fait:
 

```{r}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() +
theme_bw()
```

Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant
combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1:

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4*mean(df$Accept)
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## [1] 3.156
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