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title: "À propos du calcul de pi"
author: "Arnaud Legrand"
date: "25 juin 2018"
output: html_document
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

## En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m’indique que \$pi$ vaut **approximativement**

```
pi
```

```
\## [1] 3.141593
```

## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon


Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :

```
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

```
\## [1] 3.141593
```

## Avec un argument “fréquentiel” de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $\X~U(0,1)$ et $\Y~U(0,1)$ alors $\P[X^2 + Y^2 <= 1] = $\pi$ /4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait:

```
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```
Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de \$pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $\X^2 + Y^2$ est inférieur à 1:

```
4*mean(df$Accept)
```

```
\## [1] 3.156
```