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title: "Exercice 2"
author: "Simon Levy"
date: "La date du jour"
output: html_document
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

# En demandant à la Lib maths

Mon ordinateur m’indique que π vaut approximativement
```{r}
pi
```

# En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la méthode des [Aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme approximation :

```{r}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

# Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si X \~ U (0,1) et Y \~ U (0,1) alors $$ P[X^2+Y^2<1]=π/4$$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait:

```{r message=FALSE, warning=FALSE}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```

Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois, en moyenne,$$X^2 + Y^2$$ est inférieur à 1