À propos du calcul de \(\pi\)

Table des matières

1. En demandant à la lib maths
2. En utilisant la méthodes des aiguilles de Buffon
3. Avec un argument "fréquentiel" de surface

1 En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m'indique que \(\pi\) vaut approximativement :

from math import *
pi

3.141592653589793

2 En utilisant la méthodes des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la méthode des aiguilles de Buffon, on obtiendrait comme approximation :

import numpy as np
np.random.seed(seed=42)
N = 10000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
2 / (sum((x + np.sin(theta)) > 1) / N)

3.128911138923655

3 Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si \(X \sim U(0, 1)\) et \(Y \sim Y(0, 1)\) alors \(P[X^2 + Y^2 \le 1] = \pi / 4\) (voir méthode de Monte Carlo sur Wikipedia). Le code suivant illustre ce fait :

import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(seed=42)
N = 1000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)

accept = (x*x+y*y) <= 1
reject = np.logical_not(accept)

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.set_aspect('equal')

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \(\pi\) en comptant combien de fois, en moyenne, \(X^2 + Y^2\) est inférieur à 1 :

4 * np.mean(accept)

3.112