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title: "A propos du calcul de pi"
author: "leblonf"
date: "16 avril 2020"
output: pdf_document
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

# En demandant à la lib maths
Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut *approximativement*
```{r pi}
pi
```

# En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :

```{r buffon}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

# Avec un argument "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X \sim U(0,1)$ et $Y \sim U(0,1)$ alors $P[X^2 + Y^2 \leq 1] = \pi/4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :

```{r montecarlo}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X=runif(N), Y=runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <= 1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X, y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois en moyenne $X^2 + Y^2$ est inférieurà 1:

```{r count}
4*mean(df$Accept)
```