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module2/exo1/toy_document_fr.Rmd

@@ -6,13 +6,13 @@ output: html_document
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 ## En demandant à la lib math
-Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut approximativement
+Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut *approximativement* :
 ```{r}
 pi
 ```
 
 ## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
-Mais calculé avec la __méthode__ des aiguilles de [Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme approximation :
+Mais calculé avec la __méthode__ des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme approximation :
 
 ```{r}
 set.seed(42)
@@ -23,4 +23,20 @@ theta = pi/2*runif(N)
 ```
 
 ## Avec un argument "fréquentiel" de surface
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appels à la fonction sinus se base sur le fait que si $X$ $\approx$ $U(0,1)$ et $Y$ $\approx$ $U(0,1)$ alors $P[X²+Y² \leq 1] = \pi/4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur wikipédia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+```
+
+Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X² + Y²$ est inférieur à 1 :
+
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
+```