# 1 A propos du calcul de $\pi$

## 1.1 En demandant à la lib maths

mon ordinateur m'indique de $\pi$ vaut *approximativement* 

from math import * 
print(pi)

## 1.2 En utilisant la méthodes des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), in obtientdrait comme **appoximation** : 


import numpy as np
np.random.seed(seed=42)
N = 10000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)

## 1.3 Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction
sinus se base sur le fait que si $X ∼ U(0,1)$ alors $P[X<sup>2</sup> + Y<sup>2</sup> ≤ 1] = π/4 (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait : 

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(seed=42)
N = 1000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
1
accept = (x*x+y*y) <= 1
reject = np.logical_not(accept)
fig, ax = plt.subplots(1)
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.set_aspect('equal')

il est alors aisé d'onbtenir une approxiamtion (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, X<sup>2</sup> + Y<sup>2</sup> est inférieur à 1 :

4*np.mean(accept)