#+TITLE: Analyse du risque de défaillance des joints toriques de la navette Challenger
:preambule:
#+AUTHOR: Arnaud Legrand
#+LANGUAGE: fr

#+PROPERTY: header-args :tangle yes
#+PROPERTY: header-args:jupyter-python :exports both
#+PROPERTY: header-args:jupyter-python+ :session /jpy:localhost#8889:jlab

#+PROPERTY: header-args:jupyter-R :exports both
#+PROPERTY: header-args:jupyter-R+ :session /jpy::ir


#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
#+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>

#+LATEX_HEADER: \usepackage{a4}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[french]{babel}
:end:


#+name: scrollImage
#+begin_src elisp :exports none
  (defun org-image-resize (frame)
    (setq org-export-allow-bind-keywords t)
    (when (derived-mode-p 'org-mode)
      (if (< (window-total-width) 80)
  	(setq org-image-actual-width (* 4 window-pixel-width))
        (setq org-image-actual-width (* 70 (window-font-width))))
      (org-redisplay-inline-images)))

  (add-hook 'window-size-change-functions 'org-image-resize)
  (visual-line-mode t)
  (variable-pitch-mode t)
  (add-hook 'org-babel-after-execute-hook 'org-redisplay-inline-images)
  #+end_src

  #+RESULTS: scrollImage
  | org-redisplay-inline-images |



#+begin_src emacs-lisp
  (setq org-image-actual-width '(200))
  #+end_src

#+RESULTS:
| 200 |



# #+PROPERTY: header-args  :session  :exports both

Le 27 Janvier 1986, veille du décollage de la navette /Challenger/, eu
lieu une télé-conférence de trois heures entre les ingénieurs de la
Morton Thiokol (constructeur d'un des moteurs) et de la NASA. La
discussion portait principalement sur les conséquences de la
température prévue au moment du décollage de 31°F (juste en dessous de
0°C) sur le succès du vol et en particulier sur la performance des
joints toriques utilisés dans les moteurs. En effet, aucun test
n'avait été effectué à cette température.

L'étude qui suit reprend donc une partie des analyses effectuées cette
nuit là et dont l'objectif était d'évaluer l'influence potentielle de
la température et de la pression à laquelle sont soumis les joints
toriques sur leur probabilité de dysfonctionnement. Pour cela, nous
disposons des résultats des expériences réalisées par les ingénieurs
de la NASA durant les 6 années précédant le lancement de la navette
Challenger.

* Chargement des données
Nous commençons donc par charger ces données:
#+begin_src jupyter-python :results value  :exports both :display text
import numpy as np
import pandas as pd
data = pd.read_csv("module2_exo5_shuttle.csv")
data
#+end_src

#+RESULTS:
#+begin_example
          Date  Count  Temperature  Pressure  Malfunction
  0    4/12/81      6           66        50            0
  1   11/12/81      6           70        50            1
  2    3/22/82      6           69        50            0
  3   11/11/82      6           68        50            0
  4    4/04/83      6           67        50            0
  5    6/18/82      6           72        50            0
  6    8/30/83      6           73       100            0
  7   11/28/83      6           70       100            0
  8    2/03/84      6           57       200            1
  9    4/06/84      6           63       200            1
  10   8/30/84      6           70       200            1
  11  10/05/84      6           78       200            0
  12  11/08/84      6           67       200            0
  13   1/24/85      6           53       200            2
  14   4/12/85      6           67       200            0
  15   4/29/85      6           75       200            0
  16   6/17/85      6           70       200            0
  17   7/29/85      6           81       200            0
  18   8/27/85      6           76       200            0
  19  10/03/85      6           79       200            0
  20  10/30/85      6           75       200            2
  21  11/26/85      6           76       200            0
  22   1/12/86      6           58       200            1
#+end_example

Le jeu de données nous indique la date de l'essai, le nombre de joints
toriques mesurés (il y en a 6 sur le lançeur principal), la
température (en Fahrenheit) et la pression (en psi), et enfin le
nombre de dysfonctionnements relevés. 

* Inspection graphique des données
Les vols où aucun incident n'est relevé n'apportant aucune information
sur l'influence de la température ou de la pression sur les
dysfonctionnements, nous nous concentrons sur les expériences où au
moins un joint a été défectueux.

#+begin_src jupyter-python :results value  :exports both :display text
data = data[data.Malfunction>0]
data
#+end_src

#+RESULTS:
:         Date  Count  Temperature  Pressure  Malfunction  Frequency
: 1   11/12/81      6           70        50            1   0.166667
: 8    2/03/84      6           57       200            1   0.166667
: 9    4/06/84      6           63       200            1   0.166667
: 10   8/30/84      6           70       200            1   0.166667
: 13   1/24/85      6           53       200            2   0.333333
: 20  10/30/85      6           75       200            2   0.333333
: 22   1/12/86      6           58       200            1   0.166667

Très bien, nous avons une variabilité de température importante mais
la pression est quasiment toujours égale à 200, ce qui devrait
simplifier l'analyse.

Comment la fréquence d'échecs varie-t-elle avec la température ?




#+begin_src jupyter-python   :exports both :results raw drawer
  import matplotlib.pyplot as plt
  cm = 1/2.54
  plt.rcParams["figure.facecolor"] = "#A4B9C5"
  #plt.rcParams['text.usetex'] = True
  c_orange="#FF9A00"
  c_darkblue="#5A7F96"
#+end_src

#+RESULTS:

#+begin_src jupyter-python :results raw drawer :exports both  
  import matplotlib.pyplot as plt
  pd.options.mode.copy_on_write = True
  #plt.clf()
  data["Frequency"]=data["Malfunction"]/data["Count"]
  data.plot(x="Temperature",y="Frequency",kind="scatter",ylim=[0,1])
  plt.grid(True)
  
#+end_src

#+RESULTS:
[[./.ob-jupyter/3d4ddf0ba39f4d97099fa73e230ec4ef702db5f1.png]]



À première vue, ce n'est pas flagrant mais bon, essayons quand même
d'estimer l'impact de la température $t$ sur la probabilité de
dysfonctionnements d'un joint. 

* Estimation de l'influence de la température

Supposons que chacun des 6 joints toriques est endommagé avec la même
probabilité et indépendamment des autres et que cette probabilité ne
dépend que de la température. Si on note $p(t)$ cette probabilité, le
nombre de joints $D$ dysfonctionnant lorsque l'on effectue le vol à
température $t$ suit une loi binomiale de paramètre $n=6$ et
$p=p(t)$. Pour relier $p(t)$ à $t$, on va donc effectuer une
régression logistique.

#+begin_src jupyter-python :results value  :exports both 
  import pandas as pd
  import statsmodels.api as sm

  data["Success"]=data.Count-data.Malfunction
  data["Intercept"]=1

  logit_model=sm.Logit(data["Frequency"],data[["Intercept","Temperature"]]).fit() 
  
  logit_model.summary()
#+end_src

#+RESULTS:
:RESULTS:
: Optimization terminated successfully.
:          Current function value: 0.393555
:          Iterations 5
: /home/vincent/.pyenv/versions/3.10.1/envs/default/lib/python3.10/site-packages/statsmodels/discrete/discrete_model.py:4469: RuntimeWarning: divide by zero encountered in scalar divide
:   return 1 - self.llf/self.llnull
#+begin_export html

 Logit Regression Results  
  Logit Regression Results    
      
  Dep. Variable:  Frequency  No. Observations:   7    
  Model:  Logit  Df Residuals:   5    
  Method:  MLE  Df Model:   1    
  Date:  Sat, 13 Apr 2024  Pseudo R-squ.:   inf    
  Time:  20:21:52  Log-Likelihood:   -2.7549    
  converged:  True  LL-Null:   0.0000    
  Covariance Type:  nonrobust  LLR p-value:   1.000    

   coef  std err  z  P>|z|  [0.025  0.975]  
 Intercept  -1.3895  7.828  -0.178  0.859  -16.732  13.953  
 Temperature  0.0014  0.122  0.012  0.991  -0.238  0.240  

#+end_export
:END:

 
      
  | Dep. Variable:     | Frequency              | No. Observations:   7     |         |
  | Model:             | Logit                  | Df Residuals:             |       5 |
  | Method:            | MLE                    | Df               Model:   |       1 |
  | Date:              | Sat,   13  Apr    2024 | Pseudo            R-squ.: |     inf |
  | Time:              | 16:44:31               | Log-Likelihood:           | -2.7549 |
  | converged:         | True                   | LL-Null:                  |  0.0000 |
  | Covariance   Type: | nonrobust              | LLR              p-value: |   1.000 |

|             |    coef | std err |      z |   P>z |  [0.025 | 0.975] |
| Intercept   | -1.3895 |   7.828 | -0.178 | 0.859 | -16.732 | 13.953 |
| Temperature |  0.0014 |   0.122 |  0.012 | 0.991 |  -0.238 |  0.240 |





L'estimateur le plus probable du paramètre de température est 0.0014
et l'erreur standard de cet estimateur est de 0.122, autrement dit on
ne peut pas distinguer d'impact particulier et il faut prendre nos
estimations avec des pincettes.

* Estimation de la probabilité de dysfonctionnant des joints toriques
La température prévue le jour du décollage est de 31°F. Essayons
d'estimer la probabilité de dysfonctionnement des joints toriques à
cette température à partir du modèle que nous venons de construire:

#+begin_src jupyter-python :results output file :var matplot_lib_filename="proba_estimate_python.png" :exports both  
import matplotlib.pyplot as plt

data_pred = pd.DataFrame({'Temperature': np.linspace(start=30, stop=90, num=121), 'Intercept': 1})
data_pred['Frequency'] = logit_model.predict(data_pred[['Intercept','Temperature']])
data_pred.plot(x="Temperature",y="Frequency",kind="line",ylim=[0,1])
plt.scatter(x=data["Temperature"],y=data["Frequency"])
plt.grid(True)

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)
#+end_src

#+RESULTS:
:RESULTS:
: proba_estimate_python.png
[[./.ob-jupyter/32327fd28a2604a503ea9a032641035fd0b02e56.png]]
:END:

Comme on pouvait s'attendre au vu des données initiales, la
température n'a pas d'impact notable sur la probabilité d'échec des
joints toriques. Elle sera d'environ 0,2, comme dans les essais
précédents où nous il y a eu défaillance d'au moins un joint. Revenons
à l'ensemble des données initiales pour estimer la probabilité de
défaillance d'un joint:

#+begin_src jupyter-python :results output  :exports both
data = pd.read_csv("module2_exo5_shuttle.csv")
print(np.sum(data.Malfunction)/np.sum(data.Count))
#+end_src

#+RESULTS:
: 0.06521739130434782

Cette probabilité est donc d'environ $p=0,065$, sachant qu'il existe
un joint primaire un joint secondaire sur chacune des trois parties du
lançeur, la probabilité de défaillance des deux joints d'un lançeur
est de $p^2 \approx 0.00425$. La probabilité de défaillance d'un des
lançeur est donc de $1-(1-p^2)^3 \approx 1.2%$.  Ça serait vraiment
pas de chance... Tout est sous contrôle, le décollage peut donc avoir

lieu demain comme prévu.

Seulement, le lendemain, la navette Challenger explosera et emportera
avec elle ses sept membres d'équipages. L'opinion publique est
fortement touchée et lors de l'enquête qui suivra, la fiabilité des
joints toriques sera directement mise en cause. Au-delà des problèmes
de communication interne à la NASA qui sont pour beaucoup dans ce
fiasco, l'analyse précédente comporte (au moins) un petit
problème... Saurez-vous le trouver ? Vous êtes libre de modifier cette
analyse et de regarder ce jeu de données sous tous les angles afin d'expliquer ce qui ne va pas.

* Autre analyse

Visualisation de l'ensemble du nuage avec intervalle de confiance (par
bootstrap).


#+begin_src jupyter-python   :exports both :results raw drawer
  from __future__ import print_function

  import numpy as np
  
  import statsmodels.api as sm
  from sklearn.linear_model import LogisticRegression
  from sklearn.linear_model import LinearRegression
  import matplotlib.pyplot as plt
  from scipy import stats
  import seaborn as sns


  sns.set(style='darkgrid', font_scale=1.2)

  %matplotlib inline

#+end_src

#+RESULTS:


#+begin_src jupyter-python :kernel python3  :exports  :results raw drawer :display text
  import numpy as np
  import pandas as pd
  data = pd.read_csv("module2_exo5_shuttle.csv")
  data["Frequency"]=data["Malfunction"]/data["Count"]
  #+end_src

#+RESULTS:



#+begin_src jupyter-python :kernel python3  :exports  :results raw drawer
  fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,6))

  plot=sns.regplot(x='Temperature',
                   y='Frequency',
                   data=data,
                   logistic=True,
                   n_boot=500,
                   y_jitter=0,
                   ax=ax)
  
  plt.show()
#+end_src



#+RESULTS:

[[./.ob-jupyter/dd04d70ba0976bf2224db67c19eefcbcf2398b08.png]]



Au vu du graphique, les conclusions ne tiennent pas pour des températures avoisinant les 30° F. 
Il n'y a quasiment pas d'incident pour des températures élevées. L'intervalle de confiance au voisinage de 30 degré a une très grande amplitude.