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title: "A propos du calcul de pi"
author: "Rémy Dadier "
date: "12 juillet 2025"
output: html_document
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# En demandant à la lib maths

L'ordinateur m'indique que $\pi$ vaut *approximativement*

```{r, echo=FALSE, message=FALSE}
pi
```

#En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :

```{r, echo=FALSE, message=FALSE}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

# Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X\sim U(0,1)$ et $Y\sim U(0,1)$, alors $P[X^2+Y^2 \leq 1]=\pi/4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#Détermination_de_la_valeur_de_π)). Le code suivant illustre ce fait:

```{r, echo=FALSE, message=FALSE}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <= 1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x = X, y = Y)) +
  geom_point(aes(color = Accept), alpha = 0.5) +
  coord_fixed() +
  theme_bw()
```
Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1:

```{r, echo=FALSE, message=FALSE}
4*mean(df$Accept)
```