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title: "A propos du calcul de pi"
author: "Arnaud Legrand"
date: "25 juin 2018"
output: html_document
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

#*En demandant à la lib maths*
Mon dordinateur m'indique que π vaut **approximativement** 
```{r}
pi
```
#*En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon*
Mais calculé avec la *méthode* des [https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon], on obtiendrait comme *approximation*:
```{r}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

#*Avec un argument "fréquentiel" de surface*
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si X∼U(0,1) et 
Y∼U(0,1) alors P[X2+Y2≤1]=π/4 (voir méthode de [https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80] Monte Carlo sur Wikipedia). Le code suivant illustre ce fait:
```{r}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```
Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois, en moyenne, X2+Y2 est inférieur à 1:
```{r}
4*mean(df$Accept)
```