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title: "A  propos du calcul de pi"
author: "_Arnauld Legrand_"
date: "_25 juin 2018_"
output: html_document
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# En demandant à la lib maths
MOn ordinateur m'indique que $\pi$ vaut _approximativement_
```{r}
pi
```

# En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
Mais calculé avec la **méthode** des [aiguille de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :
```{r}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

# Avec un argument "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si _X∼U(0,1)_ et _Y∼U(0,1)_ alors _P[$X^2$+$Y^2$≤1]=$\pi$/4_ (voir méthode de Monte Carlo sur Wikipedia). Le code suivant illustre ce fait:
```{r}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```

Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois, en moyenne, _X2_+_Y2_ est inférieur à 1:
```{r}
4*mean(df$Accept)
```