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 # En demandant à la lib maths
 
-Mon ordinateur m'indique que π vaut approximativement
+Mon ordinateur m'indique que π vaut _approximativement_
 
-```
+```{r}
 pi
 ```
-```
-## [1] 3.141593
-```
+
 
 # En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
 
-Mais calculé avec la __méthode__ des [aiguilles de Buffon] (https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme __approximation__ :
+Mais calculé avec la __méthode__ des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme __approximation__ :
 
-```{r setup, include=FALSE}
-knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
-```
 
 
-```
+```{r}
 set.seed(42)
 N = 100000
 x = runif(N)
 theta = pi/2*runif(N)
 2/(mean(x+sin(theta)>1))
 ```
-```
-## [1] 3.14327
+
+
+# Avec un argument “fréquentiel” de surface
+
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si X∼U(0,1) et Y∼U(0,1) alors P[X2+Y2≤1]=π/4 (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
 ```
 
-Et on peut aussi aisément inclure des figures. Par exemple:
+Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois, en moyenne, X2+Y2 est inférieur à 1:
 
-```{r pressure, echo=FALSE}
-plot(pressure)
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
 ```