#+TITLE:  A propos du calcul de \pi
#+AUTHOR: Vincent Montero
#+DATE:   28 juin 2022
#+LANGUAGE: fr
# #+PROPERTY: header-args :eval never-export

#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
#+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>

* En demandant à la lib maths
Mon ordinateur m'indique que \pi vaut /approximativement/
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
pi
#+end_src

#+results:
: [1] 3.141593

* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait comme approximation :
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
#+end_src

#+results:
: [1] 3.14327

* Avec un argument "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X ∼ U(0,1)$ et $Y ∼ U(0,1)$ alors $P[X^2 + Y^2 ≤ 1] = \pi/4$
(voir [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Monte-Carlo#Détermination_de_la_valeur_de_π][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]).
Le code suivant illustre ce fait :
#+begin_src R :results file  graphics :file (org-babel-temp-file "figure" ".png") :exports both :width 600 :height 400 :session *R*
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
#+end_src

#+results:
[[file:/var/folders/98/jjh8696n6bb0v4nv5457v4dm0000gn/T/babel-hLZoX5/figure5GrRLk.png]]

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \pi en comptant compbien de fois en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
4*mean(df$Accept)
#+end_src

#+results:
: [1] 3.156