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title: "A propos du calcul de pi"
author: "Arnaud Legrand"
date: "25 jun 2018"
output: html_document
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

# En demandant à la lib maths
Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut *approximativement*
`pi`
```{r, echo=TRUE}
library (maths)
pi

# [1] 3.141593
```

# En utilisant la méthode des aguilles de Buffon
Mais calculé avec la méthode des [aiguilles de Buffon] (https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon) on obtiendrait, comme **approximation** :
```{r, echo=TRUE}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))

## [1] 3.14327
```
# Avec un argument "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si x$\sim$u(0,1) 
et y$\sim$u(0,1) alors p[$x^2$+$y^2$ $\le$ 1] = $\pi$/_4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipédia] (https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)).
Le code suivant illustre ce fait :
```{r, echo=TRUE}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $x^2$ + $y^2$ est inférieur à 1 :
```{r, echo=TRUE}
4*mean(df$Accept)
## [1] 3.156
```