diff --git a/module2/exo1/toy_document_fr.Rmd b/module2/exo1/toy_document_fr.Rmd
index 198b6d652572055d347034c45c29088ad3c517a1..b6a47d97f4bf07fbaffb9ebc5216d42075d6be23 100644
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 title: "À propos du calcul de pi"
 author: "NEBIE Gaston Cyrille"
-date: "18/01/2025"
+date: "01 janvier 2025"
 output: html_document
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-
 ```{r setup, include=FALSE}
 knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
 ```
 
-# En demandant à la lib maths
+## En demandant à la lib maths
+
+Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut _approximativement_
+
+```{r}
+pi
+```
+
+## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+
+Mais calculé avec la **méthode** des aiguilles de [Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 100000
+x = runif(N)
+theta = pi/2*runif(N)
+2/(mean(x+sin(theta)>1))
+```
+
+## Avec un argument "fréquentiel" de surface
 
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X \sim U(0, 1)$ et $Y \sim U(0, 1)$ alors $P[X^2 + Y^2 \leq 1] = \frac{\pi}{4}$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+```
+
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2+Y^2$ est inférieur à 1 :
+
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
+```