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-title: "A propos du calcul de pi"
+title: "À propos du calcul de pi"
 author: "Arnaud Legrand"
 date: "25 juin 2018"
 output: html_document
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-
 ```{r setup, include=FALSE}
 knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
 ```
 
 ## En demandant à la lib maths 
+Mon ordinateur m’indique que $\pi$ vaut *approximativement*
  
-Mon ordinateur m’indique que \(\pi\) vaut approximativement :
- 
-```{r}
+```{r cars}
 pi
 ```
-## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
-
-Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :
 
-
-Et on peut aussi aisément inclure des figures. Par exemple:
+## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+Mais calculé avec la __méthode__ des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme __approximation__ :
 
 ```{r}
 set.seed(42)
@@ -33,9 +28,7 @@ theta = pi/2*runif(N)
 ```
 
 ## Avec un argument "fréquentiel" de surface
-
-Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si\( X \sim U(0,1) \) et \( Y \sim U(0,1) \) alors \( P[X^2 + Y^2 \leq 1] = \frac{\pi}{4} \)  
-(voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80).Le code suivant illustre ce fait:
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que  si $X\sim U(0,1)$ et $Y\sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2\leq 1] = \pi/4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :
 
 ```{r}
 set.seed(42)
@@ -44,9 +37,10 @@ df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
 df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
 library(ggplot2)
 ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+
 ```
 
-Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de \(\pi\) en comptant combien de fois, en moyenne, \(X^2 + Y^2 \) est inférieur à 1:
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :
 
 ```{r}
 4*mean(df$Accept)