**March 28, 2019**  

## 1 À propos du calcul de π  

### 1.1 En demandant à la lib `math`  
Mon ordinateur m’indique que π vaut approximativement :


```python
from math import *
print(pi)

### 1.2 En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
Mais calculé avec la méthode des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme approximation :

```python
import numpy as np
np.random.seed(seed=42)
N = 10000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)

### 1.3 Avec un argument "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction
sinus se base sur le fait que si X ∼ U(0, 1) et Y ∼ U(0, 1) alors P[X2 + Y2 ≤ 1] = π/4 ([voir
méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait

```python
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(seed=42)
N = 1000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
accept = (x*x+y*y) <= 1
reject = np.logical_not(accept)
fig, ax = plt.subplots(1)
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.set_aspect('equal')

Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois,
en moyenne, X2 + Y2 est inférieur à 1 :

```python
4*np.mean(accept)