{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "---\n",
    "title: \"À propos du calcul de pi\"\n",
    "author: \"Arnaud Legrand\"\n",
    "date: \"25 juin 2018\"\n",
    "output: html_document\n",
    "---\n",
    "\n",
    "```{r setup, include=FALSE}\n",
    "knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)\n",
    "En demandant à la lib maths\n",
    "Mon ordinateur m'indique que ( \\pi ) vaut approximativement :\n",
    "pi\n",
    "En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon\n",
    "Mais calculé avec la méthode des aiguilles de Buffon, on obtiendrait comme approximation :\n",
    "set.seed(42)\n",
    "N <- 100000\n",
    "x <- runif(N)\n",
    "theta <- pi/2 * runif(N)\n",
    "2 / (mean(x + sin(theta) > 1))\n",
    "Avec un argument « fréquentiel » de surface\n",
    "Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si ( X \\sim U(0,1) ) et ( Y \\sim U(0,1) ) alors ( \\mathbb{P}[X^2 + Y^2 \\le 1] = \\pi/4 ). Le code suivant illustre ce fait :\n",
    "set.seed(42)\n",
    "N <- 1000\n",
    "df <- data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))\n",
    "df $ Accept <- (df $ X^2 + df$Y^2 <= 1)\n",
    "\n",
    "library(ggplot2)\n",
    "ggplot(df, aes(x = X, y = Y, color = Accept)) +\n",
    "  geom_point(alpha = .2) +\n",
    "  coord_fixed() +\n",
    "  theme_bw()\n",
    "Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de ( \\pi ) en comptant combien de fois, en moyenne, ( X^2 + Y^2 ) est inférieur à 1 :\n",
    "4 * mean(df$Accept)"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.6.4"
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 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
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