From 99b8b208acfea3867d0b00d4b76f96d8ef15cb37 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sat, 30 Jul 2022 16:19:32 +0000
Subject: [PATCH] Update toy_document_en.Rmd

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 module2/exo1/toy_document_en.Rmd | 19 ++++++++++++++++++-
 1 file changed, 18 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/module2/exo1/toy_document_en.Rmd b/module2/exo1/toy_document_en.Rmd
index 9d69c05..9a5f84d 100644
--- a/module2/exo1/toy_document_en.Rmd
+++ b/module2/exo1/toy_document_en.Rmd
@@ -25,4 +25,21 @@ N = 100000
 x = runif(N)
 theta = pi/2*runif(N)
 2/(mean(x+sin(theta)>1))
-```
\ No newline at end of file
+```
+
+## Avec un argument "fréquentiel" de surface
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que  si $X\sim U(0,1)$ et $Y\sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2\leq 1] = \pi/4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+
+```
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
+```
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2.18.1