# A propos du calcul de pi
__Arnaud Legrand__
__25 juin 2018__

## En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m'indique que π vaut approximativement

```{r}
x = pi
print(x)
```

## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la **méthde** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :

```{r}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

## Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que $X \sim U(0,1)$ et $Y \sim U(0,1)$ alors $P\left[X^2+Y^2 \leq 1\right]=\pi / 4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipédia] (https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80). Le code suivant illustre ce fait :

```{r}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```

Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de π
 en comptant combien de fois, en moyenne, X2+Y2
 est inférieur à 1:
 
```{r}
 4*mean(df$Accept)
  ```
 