#+TITLE: À propos du calcul de π
#+AUTHOR: Konrad Hinsen

* En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m'indique que π vaut /approximativement/:
#+begin_src python :results value :session :exports both
from math import *
pi
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.141592653589793

* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait comme *approximation* :
#+begin_src python :results value :session :exports both
import numpy as np
np.random.seed(seed=42)
N = 10000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.128911138923655

* Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas
intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si
$X∼U(0,1)$ et $Y∼U(0,1)$ alors $P[X2+Y2≤1]=π/4$

(voir [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]). Le code suivant illustre
ce fait :
#+begin_src python :results output file :session :var matplot_lib_filename=(org-babel-temp-file "figure" ".png") :exports both
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(seed=42)
N = 1000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)

accept = (x*x+y*y) <= 1
reject = np.logical_not(accept)

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.set_aspect('equal')

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)
#+end_src

#+RESULTS:
[[file:/var/folders/87/c7x20gt17rjfzcgh427wbtpr0000gn/T/babel-baqYxQ/figureKMPltU.png]]

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \pi
en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2+Y^2$ est inférieur à 1 :
#+begin_src python :results output :session :exports both
print(4*np.mean(accept))
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.112