---
title: "À propos du calcul de pi"
author: "Killian Martin"
date: "10 avril 2020"
output: html_document
---


```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

## En demandant à l'ordinateur
Mon ordinateur m’indique que $\pi$ vaut approximativement
```{r}
pi
```

## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :
```{r}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

## Avec un argument “fréquentiel” de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel 
à la fonction sinus se base sur le fait que si `X∼U(0,1)`
 et `Y∼U(0,1)`
 alors $P[X^2+Y^2 \le 1]= \pi/4$
 (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Monte-Carlo#Détermination_de_la_valeur_de_π)). 
 Le code suivant illustre ce fait:
```{r}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```

Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$
 en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2+Y^2$
 est inférieur à 1:
```{r}
4*mean(df$Accept)
```
