diff --git a/module2/exo1/toy_document_fr.Rmd b/module2/exo1/toy_document_fr.Rmd
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@@ -1,33 +1,57 @@
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-title: "Votre titre"
-author: "Votre nom"
-date: "La date du jour"
+title: "Calcul de Pi"
+author: "Andriambola"
+date: "09/07/2025"
 output: html_document
 ---
 
-
 ```{r setup, include=FALSE}
 knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
 ```
 
-## Quelques explications
+# À propos du calcul de pi
+
+*Arnaud Legrand 25 juin 2018*
 
-Ceci est un document R markdown que vous pouvez aisément exporter au format HTML, PDF, et MS Word. Pour plus de détails sur R Markdown consultez <http://rmarkdown.rstudio.com>.
+# En demandant à la lib maths
 
-Lorsque vous cliquerez sur le bouton **Knit** ce document sera compilé afin de ré-exécuter le code R et d'inclure les résultats dans un document final. Comme nous vous l'avons montré dans la vidéo, on inclue du code R de la façon suivante:
+Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut *approximativement* :
 
-```{r cars}
-summary(cars)
+```{r}
+pi
 ```
 
-Et on peut aussi aisément inclure des figures. Par exemple:
+# En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+
+Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon) :
+
+```{r}
+
 
-```{r pressure, echo=FALSE}
-plot(pressure)
+
+set.seed(42)
+N = 100000
+x = runif(N)
+theta = pi:2*runif(N)
+2/(mean(x=sin(theta)>1))
 ```
 
-Vous remarquerez le paramètre `echo = FALSE` qui indique que le code ne doit pas apparaître dans la version finale du document. Nous vous recommandons dans le cadre de ce MOOC de ne pas utiliser ce paramètre car l'objectif est que vos analyses de données soient parfaitement transparentes pour être reproductibles. 
+# Avec un argument "fréquentiel" de surface
+
+Sinon, ume méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que $X \sim {\sf U}(0, 1)$ et $Y \sim {\sf U}(0, 1)$ alors \$P [X\^{2} + Y\^{2} \$\le 1] = \$\pi/4 (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait:
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+
+```
 
-Comme les résultats ne sont pas stockés dans les fichiers Rmd, pour faciliter la relecture de vos analyses par d'autres personnes, vous aurez donc intérêt à générer un HTML ou un PDF et à le commiter.
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \$\pi en comptant combien de fois, en moyenne, X\^{2} + Y\^{2} est inférieur à 1:
 
-Maintenant, à vous de jouer! Vous pouvez effacer toutes ces informations et les remplacer par votre document computationnel.
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
+`