module 2 exo 1 first proposal

module2/exo1/toy_document_orgmode_R_fr.org

-#+TITLE:  Votre titre
-#+AUTHOR: Votre nom
-#+DATE:   La date du jour
+#+TITLE:  À propos du calcul de \pi
+#+AUTHOR: Antoine Richard
 #+LANGUAGE: fr
 # #+PROPERTY: header-args :eval never-export
 
@@ -11,7 +10,7 @@
 #+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
 #+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>
 
-* Quelques explications
+* Quelques explications                                            :noexport:
 
 Ceci est un document org-mode avec quelques exemples de code
 R. Une fois ouvert dans emacs, ce document peut aisément être
@@ -82,3 +81,60 @@ faisant ~<r~ ou ~<R~ suivi de ~Tab~).
 
 Maintenant, à vous de jouer! Vous pouvez effacer toutes ces
 informations et les remplacer par votre document computationnel.
+* En demandant à la lib maths
+
+Mon ordinateur m'indique que \pi vaut /approximativement/
+
+#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
+pi
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+: [1] 3.141593
+
+* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+
+Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], 
+on obtiendrait comme *approximation*:
+
+#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
+set.seed(42)
+N = 100000
+x = runif(N)
+theta = pi/2*runif(N)
+2/(mean(x+sin(theta)>1))
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+: 
+: [1] 3.14327
+
+* Avec un argument "fréquentiel" de surface
+
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas
+intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait
+qui si $X \sim U(0,1)$ et $Y \sim U(0,1)$ alors $P[X^2 + Y^2 \le 1] = \pi/4$
+(voir la [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]).
+Le code suivant illustre ce fait:
+
+#+begin_src R :results output graphics :file (org-babel-temp-file "figure" ".png") :exports both :width 600 :height 400 :session *R* 
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <= 1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+[[file:/tmp/babel-PuC3cb/figureA0UR4O.png]]
+
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \pi en
+comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1:
+
+#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
+4*mean(df$Accept)
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+: [1] 3.156