#+TITLE:  A propos du calcul de $\pi$
#+AUTHOR: Waad ALMASRI
#+LANGUAGE: fr

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#+PROPERTY: header-args :session :exports both

* En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut /approximativement/ :

#+begin_src python :results value :session *python* :exports both
from math import *
pi
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.141592653589793

* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la *méthode* des
[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait comme *approximation* :

#+begin_src python :results value :session *python* :exports both
import numpy as np
np.random.seed(seed=42)
N = 10000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.12891113892

* Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas
intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X\sim
U(0,1)$ et $Y\sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2\leq 1]=\pi/4$ (voir [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Monte-Carlo#Détermination_de_la_valeur_de_π][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]). Le
code suivant illustre ce fait:
#+begin_src python :results output file :var matplot_lib_filename="./figure_pi_mc2.png" :exports both :session *python*
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(seed=42)
N = 1000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)

accept = (x*x+y*y) <= 1
reject = np.logical_not(accept)

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.set_aspect('equal')

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)
#+end_src

#+RESULTS:
[[file:./figure_pi_mc2.png]]

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en
comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :

#+begin_src python :results output :session *python* :exports both
4*np.mean(accept)
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.1120000000000001
