#+TITLE:  A propos du calcul de $\pi$
#+AUTHOR: Waad ALMASRI
#+LANGUAGE: fr

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#+PROPERTY: header-args :session :exports both

* En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut /approximativement/
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
pi
#+end_src

#+RESULTS:
: [1] 3.141593

* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la *méthode* des
[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on
obtiendrait comme *approximation* :
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
#+end_src

#+RESULTS:
: 
: [1] 3.14327

* Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas
intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X\sim
U(0,1)$ et $Y\sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2\leq 1]=\pi/4$ (voir [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Monte-Carlo#Détermination_de_la_valeur_de_π][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]). Le
code suivant illustre ce fait:

#+begin_src R :results output graphics :file figure_pi_mc1.png :exports both :width 600 :height 400 :session *R* 
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()

#+end_src

#+RESULTS:
[[file:figure_pi_mc1.png]]

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en
comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :

#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
4*mean(df$Accept)
#+end_src

#+RESULTS:
: [1] 3.156
