diff --git a/module2/exo1/toy_document_fr.Rmd b/module2/exo1/toy_document_fr.Rmd
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@@ -4,18 +4,41 @@ author: "Marion Gosselin"
 date: "9 juin 2023"
 output: html_document
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+```{r setup, include=FALSE}
+knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
+```
 
 # En demandant à la lib maths
-Mon ordinateur m’indique que $\pi$  vaut approximativement  \
-``` {r pi} ``` 
-
-
-
+Mon ordinateur m’indique que $\pi$  vaut *approximativement*  \
+```{r cars}	 
+pi	
+``` 
+
+# En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+Mais calculé avec la __méthode__ des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme __approximation__ :
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 100000
+x = runif(N)
+theta = pi/2*runif(N)
+2/(mean(x+sin(theta)>1))
+```
 
-```{r setup, include=FALSE}
-knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
+# Avec un argument “fréquentiel” de surface
+Sinon, une \simméthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que \
+si $X\sim U(0,1)$ et $Y\sim U(0,1)$ \
+alors $ P[X^2+Y^2\leq 1] = \pi/4 $ \
+ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80) ). Le code suivant illustre ce fait:
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
 ```
 
+
 ## Quelques explications
 
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