À propos du calcul de \(\pi\)

Table des matières

1. En demandant à la lib maths
2. En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
3. Avec un argument "fréquentiel" de surface

1 En demandant à la lib maths

Mon ordinateur m'indique que \(\pi\) vaut approximativement:

import math
math.pi

3.141592653589793

2 En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

Mais calculé avec la méthode des[(https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait comme approximation:

import numpy as np
np.random.seed(seed=42)
N=10000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=math.pi/2)
2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)

3.128911138923655

3 Avec un argument "fréquentiel" de surface

Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si \(X\tilde U(0, 1)\) et \(Y\tilde U(0, 1)\) alors \(P[X^2+Y^2 \leq 1]=\pi /4\) (voir méthode de Monte Carle sur Wikipedia. Le code suivant illustre ce fait:

import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(seed=42)
N = 1000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)

accept = (x*x + y*y) <= 1
reject = np.logical_not(accept)

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.set_aspect('equal')

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)

'org_babel_python_eoe'
figure_pi_mc2.png

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \(\pi\)

en comptant combien de fois, en moyenne, \(X^2+Y^2\) est inférieur à 1:

4*np.mean(accept)

3.112

]]