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module2/exo1/toy_document_fr.Rmd

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 title: "À propos du calcul de pi"
-author: "Arnaud Legrand"
-date: "25 juin 2018"
+author: "*Arnaud Legrand*"
+date: "*25 juin 2018*"
 output: html_document
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@@ -12,7 +12,7 @@ knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
 
 ## En demandant à la lib maths
 
-Mon ordinateur m’indique que $\pi$ vaut approximativement.
+Mon ordinateur m’indique que $\pi$ vaut *approximativement*.
 
 ```{r }
 pi
@@ -30,3 +30,21 @@ theta = pi/2*runif(N)
 2/(mean(x+sin(theta)>1))
 ```
 
+## Avec un argument “fréquentiel” de surface
+
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $\ X \sim U(0,1)$ et $\ Y \sim U(0,1)$ alors$\ P[X^2+Y^2≤1] = \pi/4 )$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait:
+
+```{r }
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+```
+
+Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne,$\ X^2+Y^2$ est inférieur à 1:
+
+```{r }
+4*mean(df$Accept)
+```
\ No newline at end of file