{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "---\n",
    "title: \"À Propos du calcul de pi\"\n",
    "author: \"Arnaud Legrand\"\n",
    "date: \"06/25/2020\"\n",
    "output: html_document\n",
    "---\n",
    "\n",
    "## En demandant à la lib maths\n",
    "Mon ordinateur m'indique que \\pi vaut *approximativement*\n",
    "\n",
    "```{r}\n",
    "pi\n",
    "```\n",
    "\n",
    "## En tulisant la méthode des aiguilles de Buffon\n",
    "Mais calculer avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :\n",
    "```{r}\n",
    "set.seed(42)\n",
    "N = 100000\n",
    "x = runif(N)\n",
    "theta = pi/2*runif(N)\n",
    "2/(mean(x+sin(theta)>1))\n",
    "```\n",
    "\n",
    "## Avec un argument “fréquentiel” de surface\n",
    "\n",
    "Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si X∼U(0,1) et Y∼U(0,1) alors P[X2+Y2≤1]=\\pi/4 (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Monte-Carlo#Détermination_de_la_valeur_de_π)). Le code suivant illustre ce fait:\n",
    "\n",
    "```{r}\n",
    "set.seed(42)\n",
    "N = 1000\n",
    "df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))\n",
    "df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)\n",
    "library(ggplot2)\n",
    "ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()\n",
    "```\n",
    "\n",
    "Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de \\pi en comptant combien de fois, en moyenne, X2+Y2 est inférieur à 1:\n",
    "\n",
    "```{r}\n",
    "4*mean(df$Accept)\n",
    "```\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.6.4"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}