À propos du calcul de \(\pi\)
Table des matières
1. En demandant à la lib maths
Mon ordinateur m'indique que \(\pi\) vaut approximativement:
from math import pi pi
3.141592653589793
2. En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
Mais calculé avec la méthode des aiguilles de Buffon, on obtiendrait comme approximation :
import numpy as np np.random.seed(seed=42) N = 10000 x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1) theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2) 2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)
3.128911138923655
3. Avec un argument "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si \(X \sim U(0,1)\) et \(Y \sim U(0,1)\) alors \(P[X^2 + Y² \le 1] = \pi/4\) (voir méthode de Monte Carlo sur Wikipédia). Le code suivant illustre ce fait :
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(seed=42)
N = 1000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
accept = (x*x+y*y) <= 1
reject = np.logical_not(accept)
fig, ax = plt.subplots(1)
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.set_aspect('equal')
plt.savefig("figure.png")
"figure.png"
Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois, en moyenne, \(X^2 + Y^2\) est inférieur à 1 :
4*np.mean(accept)
3.112