#+TITLE: Analyse du risque de défaillance des joints toriques de la navette Challenger
#+AUTHOR: Antoine Geimer
#+LANGUAGE: fr

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#+LATEX_HEADER: \usepackage{a4}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[french]{babel}

# #+PROPERTY: header-args  :session  :exports both

Le 27 Janvier 1986, veille du décollage de la navette /Challenger/, eu
lieu une télé-conférence de trois heures entre les ingénieurs de la
Morton Thiokol (constructeur d'un des moteurs) et de la NASA. La
discussion portait principalement sur les conséquences de la
température prévue au moment du décollage de 31°F (juste en dessous de
0°C) sur le succès du vol et en particulier sur la performance des
joints toriques utilisés dans les moteurs. En effet, aucun test
n'avait été effectué à cette température.

L'étude qui suit reprend donc une partie des analyses effectuées cette
nuit là et dont l'objectif était d'évaluer l'influence potentielle de
la température et de la pression à laquelle sont soumis les joints
toriques sur leur probabilité de dysfonctionnement. Pour cela, nous
disposons des résultats des expériences réalisées par les ingénieurs
de la NASA durant les 6 années précédant le lancement de la navette
Challenger.

* Chargement des données
Nous commençons donc par charger ces données:
#+begin_src python :results value :session *python* :exports both
import numpy as np
import pandas as pd
data = pd.read_csv("shuttle.csv")
data
#+end_src

#+RESULTS:
#+begin_example
        Date  Count  Temperature  Pressure  Malfunction
0    4/12/81      6           66        50            0
1   11/12/81      6           70        50            1
2    3/22/82      6           69        50            0
3   11/11/82      6           68        50            0
4    4/04/83      6           67        50            0
5    6/18/82      6           72        50            0
6    8/30/83      6           73       100            0
7   11/28/83      6           70       100            0
8    2/03/84      6           57       200            1
9    4/06/84      6           63       200            1
10   8/30/84      6           70       200            1
11  10/05/84      6           78       200            0
12  11/08/84      6           67       200            0
13   1/24/85      6           53       200            2
14   4/12/85      6           67       200            0
15   4/29/85      6           75       200            0
16   6/17/85      6           70       200            0
17   7/29/85      6           81       200            0
18   8/27/85      6           76       200            0
19  10/03/85      6           79       200            0
20  10/30/85      6           75       200            2
21  11/26/85      6           76       200            0
22   1/12/86      6           58       200            1
#+end_example

Le jeu de données nous indique la date de l'essai, le nombre de joints
toriques mesurés (il y en a 6 sur le lançeur principal), la
température (en Fahrenheit) et la pression (en psi), et enfin le
nombre de dysfonctionnements relevés. 

* Inspection graphique des données

À première vue, ni l'information de pression ni la date nous apporteront des réponses sur la fréquence des incidents. On va donc chercher à filtrer les colonnes restantes en fusionnant les doublons pour la température.

#+begin_src python :results value :session *python* :exports both
agg_functions = {'Count': 'sum', 'Malfunction': 'sum'}
data = data[['Temperature','Count','Malfunction']].groupby('Temperature', as_index=False).sum()
data
#+end_src

#+RESULTS:
#+begin_example
    Temperature  Count  Malfunction
0            53      6            2
1            57      6            1
2            58      6            1
3            63      6            1
4            66      6            0
5            67     18            0
6            68      6            0
7            69      6            0
8            70     24            2
9            72      6            0
10           73      6            0
11           75     12            2
12           76     12            0
13           78      6            0
14           79      6            0
15           81      6            0
#+end_example

Comment la fréquence d'échecs varie-t-elle avec la température ?
#+begin_src python :results output file :var matplot_lib_filename="freq_temp_python.png" :exports both :session *python* 
import matplotlib.pyplot as plt

plt.clf()
data["Frequency"]=data.Malfunction/data.Count
data.plot(x="Temperature",y="Frequency",kind="scatter",ylim=[0,1])
plt.grid(True)

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)
#+end_src

#+RESULTS:
[[file:freq_temp_python.png]]

Contrairement à l'analyse précédente où les températures sans incidents n'étaient pas incluses, on voit ici une augemntation un peu plus nette de la fréquence des incidents à mesure que la température.

On peut procéder à une estimation de l'impact de la température $t$ sur la probabilité de dysfonctionnements d'un joint. 

* Estimation de l'influence de la température

Supposons que chacun des 6 joints toriques est endommagé avec la même probabilité et indépendamment des autres et que cette probabilité ne dépend que de la température. Si on note $p(t)$ cette probabilité, le nombre de joints $D$ dysfonctionnant lorsque l'on effectue le vol à température $t$ suit une loi binomiale de paramètre $n=6$ et $p=p(t)$. Pour relier $p(t)$ à $t$, on va donc effectuer une régression logistique.

#+begin_src python :results value :session *python* :exports both
import statsmodels.api as sm

data["Success"]=data.Count-data.Malfunction
data["Intercept"]=1

logmodel=sm.GLM(data['Frequency'], data[['Intercept','Temperature']], family=sm.families.Binomial(sm.families.links.logit())).fit()

logmodel.summary()
#+end_src

#+RESULTS:
#+begin_example
                 Generalized Linear Model Regression Results                  
==============================================================================
Dep. Variable:              Frequency   No. Observations:                   16
Model:                            GLM   Df Residuals:                       14
Model Family:                Binomial   Df Model:                            1
Link Function:                  logit   Scale:                          1.0000
Method:                          IRLS   Log-Likelihood:                -2.4880
Date:                Tue, 11 Jun 2024   Deviance:                       1.1965
Time:                        15:04:48   Pearson chi2:                     1.82
No. Iterations:                     6   Pseudo R-squ. (CS):            0.07675
Covariance Type:            nonrobust                                         
===============================================================================
                  coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
-------------------------------------------------------------------------------
Intercept       6.8667      8.822      0.778      0.436     -10.424      24.157
Temperature    -0.1458      0.143     -1.023      0.306      -0.425       0.134
===============================================================================
#+end_example

L'estimateur le plus probable du paramètre de température est -0.1458 donc on peut s'attendre à une correlation négative entre la température et la propabilité de dysfonctionnement. L'erreur standard reste plutôt élevée mais le pseudo-R² reste bas, on peut avoir une certaine confiance en nos prédictions.


* Estimation de la probabilité de dysfonctionnant des joints toriques
La température prévue le jour du décollage est de 31°F. Essayons
d'estimer la probabilité de dysfonctionnement des joints toriques à
cette température à partir du modèle que nous venons de construire:

#+begin_src python :results output file :var matplot_lib_filename="proba_estimate_python.png" :exports both :session *python* 
import matplotlib.pyplot as plt

data_pred = pd.DataFrame({'Temperature': np.linspace(start=30, stop=90, num=121), 'Intercept': 1})
data_pred['Frequency'] = logmodel.predict(data_pred[['Intercept','Temperature']])
data_pred.plot(x="Temperature",y="Frequency",kind="line",ylim=[0,1])
plt.scatter(x=data["Temperature"],y=data["Frequency"])
plt.grid(True)

plt.savefig(matplot_lib_filename)
print(matplot_lib_filename)
#+end_src

#+RESULTS:
[[file:proba_estimate_python.png]]

Contrairement à l'analyze précédente, on voit que la température a bien un effet considérable sur la probabilité de dysfonctionnement des joins toriques. Ainsi à 31°F, notre modèle prédit qu'un joint torique à plus de 90% de chances de dysfonctionner.

#+begin_src python :results value :session *python* :exports both
data_pred[data_pred.Temperature<=31.0]
#+end_src

#+RESULTS:
:    Temperature  Intercept  Frequency
: 0         30.0          1   0.923566
: 1         30.5          1   0.918258
: 2         31.0          1   0.912615

La probabilité qu'un joint défaille à cette température est de $p=0.913$. Sachant qu'il existe un joint primaire un joint secondaire sur chacune des trois parties du lançeur, la probabilité de défaillance des deux joints d'un lançeur est de $p^2 \approx 0.833569$. La probabilité de défaillance d'un des lançeur est donc de $1-(1-p^2)^3 \approx 99.5%$. La catastrophe était certaine.