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title: "A propos du calcul de Pi"
author: "Arnaud Legrand"
date: "25 juin 2018"
output: html_document
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## En demandant à Lib maths


Mon ordinateur m'indique que π vaut _approximativement_
```{r}
pi
```
## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
Mais calculé avec la __méthode__ des [aiguilles de buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme __approximation__ :
```{r}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```
## Avec un argument "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur  le fait que si __X ~ U(0,1)__ et __Y ~ U(0,1)__ alors __P[X²+Y²≤1]=π/4__ (voir [méthode de monté carlo sur wikipédia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :
```{r}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```
Il es alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois, en moyenne, __X²+Y²__ est inférieur à 1:
```{r}
4*mean(df$Accept)
```