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Commit f158149a authored by Arnaud Legrand's avatar Arnaud Legrand
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#+TITLE: Analysis of the risk of failure of the O-rings of the space shuttle Challenger
#+AUTHOR: Konrad Hinsen, Arnaud Legrand, Christophe Pouzat
#+DATE: Juin 2018
#+LANGUAGE: en
#+OPTIONS: H:3 creator:nil timestamp:nil skip:nil toc:nil num:t ^:nil ~:~
# #+OPTIONS: author:nil title:nil date:nil
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
#+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>
#+LATEX_HEADER: \usepackage[utf8]{inputenc}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[T1]{fontenc}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{textcomp}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[a4paper,margin=.8in]{geometry}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table]{xcolor}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{palatino}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{svg}
#+LATEX_HEADER: \let\epsilon=\varepsilon
*Foreword:* The explanations given in this document about the context
of the study have been taken from the excellent book /Visual
Explanations: Images and Quantities, Evidence and Narrative/ by Edward
R. Tufte, published in 1997 by /Graphics Press/ and re-edited in 2005,
and from the article /Risk Analysis of the Space Shuttle:
Pre-Challenger Prediction of Failure/ by Dalal et al., published in
1989 in the /Journal of the American Statistical Association/.
* Context
In this study, we propose a re-examination of the [[https://en.wikipedia.org/wiki/Space_Shuttle_Challenger_disaster][space shuttle
Challenger disaster]]. On January 28th, 1986, the space shuttle
Challenged exploded 73 seconds after launch (see Figure [[fig:photo]]),
causing the death of the seven astronauts on board. The explosion was
caused by the failure of the two O-ring seals between the upper and
lower parts of the boosters (see Figure [[fig:oring]]). The seals had
lost their efficiency because of the exceptionally cold weather at the
time of launch. The temperature on that morning was just below 0°C,
whereas the preceding flights hat been launched at temperatures at
least 7 to 10°C higher.
#+NAME: fig:photo
#+ATTR_LATEX: :width 10cm
#+CAPTION: Photographs of the Challenger catastrophe.
file:challenger5.jpg
#+NAME: fig:oring
#+ATTR_LATEX: :width 10cm
#+CAPTION: Diagram of the boosters of space shuttle Challenger. The rubber O-ring seals (a principal and a secondary one) of more than 11 meter circumference prevent leaks between the upper and lower parts.
file:o-ring.png
# From
# https://i0.wp.com/www.kylehailey.com/wp-content/uploads/2014/01/Screen-Shot-2013-12-30-at-12.05.04-PM-1024x679.png?zoom=2&resize=594%2C393
What is most astonishing is that the precise cause of the accident had
been intensely debated several days before and was still under
discussion the day before the launch, during a three-hour
teleconference involving engineers from Morton Thiokol (the supplier
of the engines) and from NASA. Whereas the immediate cause of the
accident, the failure of the O-ring, was quickly identified, the
underlying causes of the disaster have regularly served as a case
study, be it in management training (work organisation, decision
taking in spite of political pressure, communication problems),
statistics (risk evaluation, modelisation, data visualization), or
sociology (history, bureaucracy, conforming to organisational norms).
In the study that we propose, we are mainly concerned with the
statistical aspect, which however is only one piece of the puzzle. We
invite you to read the documents cited in the foreword for more
information. The following study takes up a part of the analyses that
were done that night with the goal of evaluating the potential impact
of temperature and air pressure on the probability of O-ring
malfunction. The starting point is experimental results obtained by
NASA engineers over the six years preceding the Challenger launch.
In the directory ~module2/exo5/~ of your GitLab workspace, you will
find the original data as well as an analysis for each of the paths we
offer. This analysis consists of four steps:
1. Loading the data
2. Visual inspection
3. Estimation of the influence of temperature
4. Estimation of the probability of O-ring malfunction
The first two steps require only a basic knowledge of R or Python. The
third step assumes some familiarity with logistic regression, and the
fourth a basic knowledge of probability. In the next section, we give
an introduction to logistic regression that skips the details of the
computations and focuses instead on the interpretation of the results.
* Introduction to logistic regression
Suppose we have the following dataset that indicates for a group of
people of varying age if they suffer from a specific illness or not. I
will present the analysis in R but Python code would look quite
similar. The data are stored in a data frame that is summarized as:
#+begin_src R :results output :session *R* :exports none
library(Hmisc) # to compute a confidence interval on binomial data
library(ggplot2)
library(dplyr)
set.seed(42)
proba = function(age) {
val=(age-50)/4
return(exp(val)/(1+exp(val)))
}
df = data.frame(Age = runif(400,min=22,max=80))
df$Ill = sapply(df$Age, function(x) rbinom(n=1,size=1,prob=proba(x)))
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
summary(df)
str(df)
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_example
Age Ill
Min. :22.01 Min. :0.000
1st Qu.:35.85 1st Qu.:0.000
Median :50.37 Median :1.000
Mean :50.83 Mean :0.515
3rd Qu.:65.37 3rd Qu.:1.000
Max. :79.80 Max. :1.000
'data.frame': 400 obs. of 2 variables:
$ Age: num 75.1 76.4 38.6 70.2 59.2 ...
$ Ill: int 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ...
#+end_example
Here is a plot that provides a better indication of the link that
could exist between age and illness:
#+begin_src R :results output graphics :file fig1.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Ill)) + geom_point(alpha=.3,size=3) + theme_bw()
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig1.svg]]
Clearly the probability of suffering from this illness increases with
age. But how can we estimate this probability based only on this
binary data ill/not ill? For each age slice (of, for example, 5
years), we could look at the frequency of the illness. The following
code is a bit complicated because the computation of the confidence
interval for this kind of data requires a particular treatment using
the function =binconf=.
#+begin_src R :results output graphics :file fig1bis.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
age_range=5
df_grouped = df %>% mutate(Age=age_range*(floor(Age/age_range)+.5)) %>%
group_by(Age) %>% summarise(Ill=sum(Ill),N=n()) %>%
rowwise() %>%
do(data.frame(Age=.$Age, binconf(.$Ill, .$N, alpha=0.05))) %>%
as.data.frame()
ggplot(df_grouped,aes(x=Age)) + geom_point(data=df,aes(y=Ill),alpha=.3,size=3) +
geom_errorbar(data=df_grouped,
aes(x=Age,ymin=Lower, ymax=Upper, y=PointEst), color="darkred") +
geom_point(data=df_grouped, aes(x=Age, y=PointEst), size=3, shape=21, color="darkred") +
theme_bw()
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig1bis.svg]]
A disadvantage of this method is that the computation is done
independently for each age slice, which moreover has been chosen
arbitrarily. For describing the evolution in a more continuous
fashion, we could apply a linear regression (which is the simplest
model for taking into account the influence of a parameter) and thus estimate the impact of age on the probability of illness:
#+begin_src R :results output graphics :file fig2.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Ill)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() + geom_smooth(method="lm")
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig2.svg]]
The blue line is the linear regression in the sense of least squares,
and the grey zone is the 95% confidence interval of this
estimation. In other words, given the dataset and the hypothesis of
linearity, the blue line is the most probable one and there is a 95%
chance that the true line is in the grey zone.
It is, however, clear from the plot that this estimation is
meaningless. A probability must lie between 0 and 1, whereas a linear
regression will inevitably lead to impossible values (negative or
greater than 1) for somewhat extreme age values (young or old). The
reason is simply that a linear regression implies the hypothesis
$\textsf{Ill} = \alpha.\textsf{Age} + \beta + \epsilon$, where
$\alpha$ and $\beta$ are real numbers and $\epsilon$ is a noise (a
random variable of mean zero), with $\alpha$ and $\beta$ estimated
from the data. This doesn't make sense for estimating a probability,
and therefore [[https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_regression][logistic regression]] is a better choice:
#+begin_src R :results output graphics :file fig3.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Ill)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() +
geom_smooth(method = "glm",
method.args = list(family = "binomial")) + xlim(20,80)
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig3.svg]]
Here the =ggplot= library does all the computations for us and only
shows the result graphically, but in the Challenger risk analysis we
perform the regression and prediction "by hand" in =R= or =Python=
(depending on the path you have chosen), so that we can inspect the
results in more detail. Like before, the blue line indicates the
estimation of the probability of being ill as a function of age, and
the grey zone informs us about the uncertainty of this estimate, i.e.
given the hypotheses and the dataset, there is a 95% chance for the
true curve to lie somewhere in the grey zone.
In this model, the assumption is $P[\textsf{Ill}] = \pi(\textsf{Age})$
with $\displaystyle\pi(x)=\frac{e^{\alpha.x + \beta}}{1+e^{\alpha.x +
\beta}}$. This at first look strange formulae has the nice property of
always yielding a value between zero and one, and to approach 0 and 1
rapidly as the age tends to $-\infty$ or $+\infty$, but this is not
the only motivation for this choice.
In summary, when we have event-like data (binary) and we wish to
estimate the influence of a parameter on the probability of the event
occurring (illness, failure, ...), the most natural and simple model
is logistic regression. Note that even if we restrain ourselves to a
small part of the data, e.g., only patients less than 50 years old, it
is possible to get a reasonable estimate, even though, as is to be
expected, the uncertainty grows rapidly.
#+begin_src R :results output graphics :file fig4.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df[df$Age<50,],aes(x=Age,y=Ill)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() +
geom_smooth(method = "glm",
method.args = list(family = "binomial"),fullrange = TRUE) + xlim(20,80)
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig4.svg]]
* Emacs Setup :noexport:
This document has local variables in its postembule, which should
allow Org-mode (9) to work seamlessly without any setup. If you're
uncomfortable using such variables, you can safely ignore them at
startup. Exporting may require that you copy them in your .emacs.
# Local Variables:
# eval: (add-to-list 'org-latex-packages-alist '("" "minted"))
# eval: (setq org-latex-listings 'minted)
# eval: (setq org-latex-minted-options '(("style" "Tango") ("bgcolor" "Moccasin") ("frame" "lines") ("linenos" "true") ("fontsize" "\\small")))
# eval: (setq org-latex-pdf-process '("pdflatex -shell-escape -interaction nonstopmode -output-directory %o %f" "pdflatex -shell-escape -interaction nonstopmode -output-directory %o %f" "pdflatex -shell-escape -interaction nonstopmode -output-directory %o %f"))
# End:
module2/exo5/challenger.org
View file @ f158149a
#+TITLE: Analyse du risque de défaillance des joints toriques de la navette Challenger
#+TITLE: Analysis of the risk of failure of the O-rings of the space shuttle Challenger
#+AUTHOR: Konrad Hinsen, Arnaud Legrand, Christophe Pouzat
#+DATE: Juin 2018
#+LANGUAGE: fr
#+LANGUAGE: en
#+OPTIONS: H:3 creator:nil timestamp:nil skip:nil toc:nil num:t ^:nil ~:~
# #+OPTIONS: author:nil title:nil date:nil
......@@ -17,106 +17,89 @@
#+LATEX_HEADER: \usepackage[T1]{fontenc}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{textcomp}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[a4paper,margin=.8in]{geometry}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[french]{babel}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table]{xcolor}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{palatino}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{svg}
#+LATEX_HEADER: \let\epsilon=\varepsilon
*Préambule :* Les explications données dans ce document sur le contexte
de l'étude sont largement reprises de l'excellent livre d'Edward
R. Tufte intitulé /Visual Explanations: Images and Quantities, Evidence
and Narrative/, publié en 1997 par /Graphics Press/ et réédité en 2005,
ainsi que de l'article de Dalal et al. intitulé /Risk Analysis of the
Space Shuttle: Pre-Challenger Prediction of Failure/ et publié en 1989
dans /Journal of the American Statistical Association/.
* Contexte
Dans cette étude, nous vous proposons de revenir sur [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Accident_de_la_navette_spatiale_Challenger][l'accident de la
navette spatiale Challenger]]. Le 28 Janvier 1986, 73 secondes après son
lancement, la navette Challenger se désintègre (voir Figure [[fig:photo]])
et entraîne avec elle, les sept astronautes à son bord. Cette
explosion est due à la défaillance des deux joints toriques
assurant l'étanchéité entre les parties hautes et basses des
propulseurs (voir Figure [[fig:oring]]). Ces joints ont perdu de leur
efficacité en raison du froid particulier qui régnait au moment du
lancement. En effet, la température ce matin là était juste en dessous
de 0°C alors que l'ensemble des vols précédents avaient été effectués
à une température d'au moins 7 à 10°C de plus.
*Foreword:* The explanations given in this document about the context
of the study have been taken from the excellent book /Visual
Explanations: Images and Quantities, Evidence and Narrative/ by Edward
R. Tufte, published in 1997 by /Graphics Press/ and re-edited in 2005,
and from the article /Risk Analysis of the Space Shuttle:
Pre-Challenger Prediction of Failure/ by Dalal et al., published in
1989 in the /Journal of the American Statistical Association/.
* Context
In this study, we propose a re-examination of the [[https://en.wikipedia.org/wiki/Space_Shuttle_Challenger_disaster][space shuttle
Challenger disaster]]. On January 28th, 1986, the space shuttle
Challenged exploded 73 seconds after launch (see Figure [[fig:photo]]),
causing the death of the seven astronauts on board. The explosion was
caused by the failure of the two O-ring seals between the upper and
lower parts of the boosters (see Figure [[fig:oring]]). The seals had
lost their efficiency because of the exceptionally cold weather at the
time of launch. The temperature on that morning was just below 0°C,
whereas the preceding flights hat been launched at temperatures at
least 7 to 10°C higher.
#+NAME: fig:photo
#+ATTR_LATEX: :width 10cm
#+CAPTION: Photos de la catastrophe de Challenger.
#+CAPTION: Photographs of the Challenger catastrophe.
file:challenger5.jpg
# #+NAME: fig:photo
# #+ATTR_LATEX: :width 6cm
# #+CAPTION: Photo montage de la catastrophe de Challenger. De gauche à droite, de haut en bas : traînée de fumée après la désintégration de la navette spatiale américaine Challenger 73 secondes après son lancement ; débris d'un propulseur d'appoint à poudre ; joints toriques brûlés, les fautifs de l'accident ; décollage final de Challenger ; cérémonie funéraire tenue par le président Ronald Reagan en hommage aux astronautes ; explosion en vol de Challenger
# file:Challenger_Photo_Montage.jpg
# # From https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Challenger_Photo_Montage.jpg
#+NAME: fig:oring
#+ATTR_LATEX: :width 10cm
#+CAPTION: Schéma des propulseurs de la navette challenger. Les joints toriques (un joint principale et un joint secondaire) en caoutchouc de plus de 11 mètres de circonférence assurent l'étanchéité entre la partie haute et la partie basse du propulseur.
#+CAPTION: Diagram of the boosters of space shuttle Challenger. The rubber O-ring seals (a principal and a secondary one) of more than 11 meter circumference prevent leaks between the upper and lower parts.
file:o-ring.png
# From https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Challenger_Photo_Montage.jpg
# From
# https://i0.wp.com/www.kylehailey.com/wp-content/uploads/2014/01/Screen-Shot-2013-12-30-at-12.05.04-PM-1024x679.png?zoom=2&resize=594%2C393
Le plus étonnant est que la cause précise de cet accident avait été
débattue intensément plusieurs jours auparavant et était encore
discutée la veille même du décollage, pendant trois heures de
télé-conférence entre les ingénieurs de la Morton Thiokol
(constructeur des moteurs) et de la NASA. Si la cause immédiate de
l'accident (la défaillance des joints toriques) a rapidement été
identifiée, les raisons plus profondes qui ont conduit à ce désastre
servent régulièrement de cas d'étude, que ce soit dans des cours de
management (organisation du travail, décision technique malgré des
pressions politiques, problèmes de communication), de statistiques
(évaluation du risque, modélisation, visualisation de données), ou de
sociologie (symptôme d'un historique, de la bureaucratie et du
conformisme à des normes organisationnelles).
Dans l'étude que nous vous proposons, nous nous intéressons
principalement à l'aspect statistique mais ce n'est donc qu'une
facette (extrêmement limitée) du problème et nous vous invitons à lire
par vous même les documents donnés en référence dans le
préambule. L'étude qui suit reprend donc une partie des analyses
effectuées cette nuit là et dont l'objectif était d'évaluer
l'influence potentielle de la température et de la pression à laquelle
sont soumis les joints toriques sur leur probabilité de
dysfonctionnement. Pour cela, nous disposons des résultats des
expériences réalisées par les ingénieurs de la NASA durant les 6
années précédant le lancement de la navette Challenger.
Dans le répertoire ~module2/exo5/~ de votre espace =gitlab=, vous
trouverez les données d'origine ainsi qu'une analyse pour chacun des
différents parcours proposés. Cette analyse comporte quatre étapes :
1. Chargement des données
2. Inspection graphique des données
3. Estimation de l'influence de la température
4. Estimation de la probabilité de dysfonctionnement des joints
toriques
Les deux premières étapes ne supposent que des compétences de base en
R ou en Python. La troisième étape suppose une familiarité avec la
régression logistique (généralement abordée en L3 ou M1 de stats,
économétrie, bio-statistique...) et la quatrième étape des bases de
probabilités (niveau lycée). Nous vous présentons donc dans la
prochaine section une introduction à la régression logistique qui ne
s'attarde pas sur les détails du calcul, mais juste sur le sens donné
aux résultats de cette régression.
* Introduction à la régression logistique
Imaginons que l'on dispose des données suivantes qui indiquent pour
une cohorte d'individus s'ils ont déclaré une maladie particulière ou
pas. Je montre ici l'analyse avec R mais le code Python n'est pas forcément
très éloigné. Les données sont stockées dans une data frame dont voici
un bref résumé :
What is most astonishing is that the precise cause of the accident had
been intensely debated several days before and was still under
discussion the day before the launch, during a three-hour
teleconference involving engineers from Morton Thiokol (the supplier
of the engines) and from NASA. Whereas the immediate cause of the
accident, the failure of the O-ring, was quickly identified, the
underlying causes of the disaster have regularly served as a case
study, be it in management training (work organisation, decision
taking in spite of political pressure, communication problems),
statistics (risk evaluation, modelisation, data visualization), or
sociology (history, bureaucracy, conforming to organisational norms).
In the study that we propose, we are mainly concerned with the
statistical aspect, which however is only one piece of the puzzle. We
invite you to read the documents cited in the foreword for more
information. The following study takes up a part of the analyses that
were done that night with the goal of evaluating the potential impact
of temperature and air pressure on the probability of O-ring
malfunction. The starting point is experimental results obtained by
NASA engineers over the six years preceding the Challenger launch.
In the directory ~module2/exo5/~ of your GitLab workspace, you will
find the original data as well as an analysis for each of the paths we
offer. This analysis consists of four steps:
1. Loading the data
2. Visual inspection
3. Estimation of the influence of temperature
4. Estimation of the probability of O-ring malfunction
The first two steps require only a basic knowledge of R or Python. The
third step assumes some familiarity with logistic regression, and the
fourth a basic knowledge of probability. In the next section, we give
an introduction to logistic regression that skips the details of the
computations and focuses instead on the interpretation of the results.
* Introduction to logistic regression
Suppose we have the following dataset that indicates for a group of
people of varying age if they suffer from a specific illness or not. I
will present the analysis in R but Python code would look quite
similar. The data are stored in a data frame that is summarized as:
#+begin_src R :results output :session *R* :exports none
library(Hmisc) # pour calculer un intervalle de confiance sur des données binomiales
library(Hmisc) # to compute a confidence interval on binomial data
library(ggplot2)
library(dplyr)
set.seed(42)
......@@ -125,36 +108,10 @@ proba = function(age) {
return(exp(val)/(1+exp(val)))
}
df = data.frame(Age = runif(400,min=22,max=80))
df$Malade = sapply(df$Age, function(x) rbinom(n=1,size=1,prob=proba(x)))
df$Ill = sapply(df$Age, function(x) rbinom(n=1,size=1,prob=proba(x)))
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_example
Le chargement a nécessité le package : lattice
Le chargement a nécessité le package : survival
Le chargement a nécessité le package : Formula
Le chargement a nécessité le package : ggplot2
Attachement du package : ‘Hmisc’
The following objects are masked from ‘package:base’:
format.pval, units
Attachement du package : ‘dplyr’
The following objects are masked from ‘package:Hmisc’:
src, summarize
The following objects are masked from ‘package:stats’:
filter, lag
The following objects are masked from ‘package:base’:
intersect, setdiff, setequal, union
#+end_example
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
summary(df)
......@@ -163,7 +120,7 @@ str(df)
#+RESULTS:
#+begin_example
Age Malade
Age Ill
Min. :22.01 Min. :0.000
1st Qu.:35.85 1st Qu.:0.000
Median :50.37 Median :1.000
......@@ -171,39 +128,38 @@ str(df)
3rd Qu.:65.37 3rd Qu.:1.000
Max. :79.80 Max. :1.000
'data.frame': 400 obs. of 2 variables:
$ Age : num 75.1 76.4 38.6 70.2 59.2 ...
$ Malade: int 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ...
$ Age: num 75.1 76.4 38.6 70.2 59.2 ...
$ Ill: int 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ...
#+end_example
Voici une représentation graphique des données qui permet de mieux
percevoir le lien qu'il peut y avoir entre l'âge et le fait de
contracter cette maladie ou pas :
Here is a plot that provides a better indication of the link that
could exist between age and illness:
#+begin_src R :results output graphics :file fig1.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) + theme_bw()
ggplot(df,aes(x=Age,y=Ill)) + geom_point(alpha=.3,size=3) + theme_bw()
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig1.svg]]
Il apparaît clairement sur ces données que plus l'on est âgé, plus la
probabilité de développer cette maladie est importante. Mais comment
estimer cette probabilité à partir uniquement de ces valeurs binaires
(malade/pas malade) ? Pour chaque tranche d'âge (par exemple de 5 ans),
on pourrait regarder la fréquence de la maladie (le code qui suit est
un peu compliqué car le calcul de l'intervalle de confiance pour ce
type de données nécessite un traitement particulier via la fonction
=binconf=).
Clearly the probability of suffering from this illness increases with
age. But how can we estimate this probability based only on this
binary data ill/not ill? For each age slice (of, for example, 5
years), we could look at the frequency of the illness. The following
code is a bit complicated because the computation of the confidence
interval for this kind of data requires a particular treatment using
the function =binconf=.
#+begin_src R :results output graphics :file fig1bis.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
age_range=5
df_grouped = df %>% mutate(Age=age_range*(floor(Age/age_range)+.5)) %>%
group_by(Age) %>% summarise(Malade=sum(Malade),N=n()) %>%
group_by(Age) %>% summarise(Ill=sum(Ill),N=n()) %>%
rowwise() %>%
do(data.frame(Age=.$Age, binconf(.$Malade, .$N, alpha=0.05))) %>%
do(data.frame(Age=.$Age, binconf(.$Ill, .$N, alpha=0.05))) %>%
as.data.frame()
ggplot(df_grouped,aes(x=Age)) + geom_point(data=df,aes(y=Malade),alpha=.3,size=3) +
ggplot(df_grouped,aes(x=Age)) + geom_point(data=df,aes(y=Ill),alpha=.3,size=3) +
geom_errorbar(data=df_grouped,
aes(x=Age,ymin=Lower, ymax=Upper, y=PointEst), color="darkred") +
geom_point(data=df_grouped, aes(x=Age, y=PointEst), size=3, shape=21, color="darkred") +
......@@ -214,15 +170,14 @@ ggplot(df_grouped,aes(x=Age)) + geom_point(data=df,aes(y=Malade),alpha=.3,size=3
#+RESULTS:
[[file:fig1bis.svg]]
L'inconvénient de cette approche est que ce calcul est effectué
indépendemment pour chaque tranches d'âges, que la tranche d'âge est
arbitraire, et qu'on n'a pas grande idée de la façon dont ça
évolue. Pour modéliser cette évolution de façon plus continue, on
pourrait tenter une régression linéaire (le modèle le plus simple
possible pour rendre compte de l'influence d'un paramètre) et ainsi
estimer l'effet de l'âge sur la probabilité d'être malade :
A disadvantage of this method is that the computation is done
independently for each age slice, which moreover has been chosen
arbitrarily. For describing the evolution in a more continuous
fashion, we could apply a linear regression (which is the simplest
model for taking into account the influence of a parameter) and thus estimate the impact of age on the probability of illness:
#+begin_src R :results output graphics :file fig2.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
ggplot(df,aes(x=Age,y=Ill)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() + geom_smooth(method="lm")
#+end_src
......@@ -230,27 +185,25 @@ ggplot(df,aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
#+RESULTS:
[[file:fig2.svg]]
La ligne bleue est la régression linéaire au sens des moindres carrés
et la zone grise est la zone de confiance à 95% de cette
estimation (avec les données dont on dispose et cette hypothèse de
linéarité, la ligne bleue est la plus probable et il y a 95% de chance
que la vraie ligne soit dans cette zone grise).
Mais on voit clairement dans cette représentation graphique que cette
estimation n'a aucun sens. Une probabilité doit être comprise entre 0
et 1 et avec une régression linéaire on arrivera forcément pour des
valeurs un peu extrêmes (jeune ou âgé) à des prédictions aberrantes
(négative ou supérieures à 1). C'est tout simplement dû au fait qu'une
régression linéaire fait l'hypothèse que $\textsf{Malade} =
\alpha.\textsf{Age} + \beta + \epsilon$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels et $\epsilon$
est un bruit (une variable aléatoire de moyenne nulle), et estime $\alpha$
et $\beta$ à partir des données.
Cette technique n'a pas de sens pour estimer une probabilité et il
convient donc d'utiliser ce que l'on appelle une [[https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_logistique][régression
logistique]] :
The blue line is the linear regression in the sense of least squares,
and the grey zone is the 95% confidence interval of this
estimation. In other words, given the dataset and the hypothesis of
linearity, the blue line is the most probable one and there is a 95%
chance that the true line is in the grey zone.
It is, however, clear from the plot that this estimation is
meaningless. A probability must lie between 0 and 1, whereas a linear
regression will inevitably lead to impossible values (negative or
greater than 1) for somewhat extreme age values (young or old). The
reason is simply that a linear regression implies the hypothesis
$\textsf{Ill} = \alpha.\textsf{Age} + \beta + \epsilon$, where
$\alpha$ and $\beta$ are real numbers and $\epsilon$ is a noise (a
random variable of mean zero), with $\alpha$ and $\beta$ estimated
from the data. This doesn't make sense for estimating a probability,
and therefore [[https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_regression][logistic regression]] is a better choice:
#+begin_src R :results output graphics :file fig3.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
ggplot(df,aes(x=Age,y=Ill)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() +
geom_smooth(method = "glm",
method.args = list(family = "binomial")) + xlim(20,80)
......@@ -260,38 +213,33 @@ ggplot(df,aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
#+RESULTS:
[[file:fig3.svg]]
Ici, la bibliothèque =ggplot= fait tous les calculs de régression
logistique pour nous et nous montre uniquement le résultat "graphique"
mais dans l'analyse que nous vous proposerons pour Challenger, nous
réalisons la régression et la prédiction à la main (en =R= ou en =Python=
selon le parcours que vous choisirez) de façon à pouvoir effectuer si
besoin une inspection plus fine. Comme avant, la courbe bleue indique
l'estimation de la probabilité d'être malade en fonction de l'âge et
la zone grise nous donne des indications sur l'incertitude de cette
estimation, i.e., "sous ces hypothèses et étant donné le peu de
données qu'on a et leur variabilité, il y a 95% de chances pour que la
vraie courbe se trouve quelque part (n'importe où) dans la zone
grise".
Dans ce modèle, on suppose que $P[\textsf{Malade}] = \pi(\textsf{Age})$ avec
$\displaystyle\pi(x)=\frac{e^{\alpha.x + \beta}}{1+e^{\alpha.x + \beta}}$. Cette
formule (étrange au premier abord) a la bonne propriété de nous donner
systématiquement une valeur comprise entre 0 et 1 et de bien tendre
rapidement vers $0$ quand l'âge tend vers $-\infty$ et vers $1$ quand l'âge
tend vers $+\infty$ (mais ce n'est pas bien sûr pas la seule motivation).
En conclusion, lorsque l'on dispose de données évènementielles
(binaires) et que l'on souhaite estimer l'influence d'un paramètre sur
la probabilité d'occurrence de l'évènement (maladie, défaillance...),
le modèle le plus naturel et le plus simple est celui de la
régression logistique. Notez, que même en se restreignant à une petite
partie des données (par exemple, uniquement les patients de moins de
50 ans), il est possible d'obtenir une estimation assez raisonnable,
même si, comme on pouvait s'y attendre, l'incertitude augmente
singulièrement.
Here the =ggplot= library does all the computations for us and only
shows the result graphically, but in the Challenger risk analysis we
perform the regression and prediction "by hand" in =R= or =Python=
(depending on the path you have chosen), so that we can inspect the
results in more detail. Like before, the blue line indicates the
estimation of the probability of being ill as a function of age, and
the grey zone informs us about the uncertainty of this estimate, i.e.
given the hypotheses and the dataset, there is a 95% chance for the
true curve to lie somewhere in the grey zone.
In this model, the assumption is $P[\textsf{Ill}] = \pi(\textsf{Age})$
with $\displaystyle\pi(x)=\frac{e^{\alpha.x + \beta}}{1+e^{\alpha.x +
\beta}}$. This at first look strange formulae has the nice property of
always yielding a value between zero and one, and to approach 0 and 1
rapidly as the age tends to $-\infty$ or $+\infty$, but this is not
the only motivation for this choice.
In summary, when we have event-like data (binary) and we wish to
estimate the influence of a parameter on the probability of the event
occurring (illness, failure, ...), the most natural and simple model
is logistic regression. Note that even if we restrain ourselves to a
small part of the data, e.g., only patients less than 50 years old, it
is possible to get a reasonable estimate, even though, as is to be
expected, the uncertainty grows rapidly.
#+begin_src R :results output graphics :file fig4.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df[df$Age<50,],aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
ggplot(df[df$Age<50,],aes(x=Age,y=Ill)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() +
geom_smooth(method = "glm",
method.args = list(family = "binomial"),fullrange = TRUE) + xlim(20,80)
......
module2/exo5/challenger_fr.org 0 → 100644
View file @ f158149a
#+TITLE: Analyse du risque de défaillance des joints toriques de la navette Challenger
#+AUTHOR: Konrad Hinsen, Arnaud Legrand, Christophe Pouzat
#+DATE: Juin 2018
#+LANGUAGE: fr
#+OPTIONS: H:3 creator:nil timestamp:nil skip:nil toc:nil num:t ^:nil ~:~
# #+OPTIONS: author:nil title:nil date:nil
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
#+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>
#+LATEX_HEADER: \usepackage[utf8]{inputenc}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[T1]{fontenc}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{textcomp}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[a4paper,margin=.8in]{geometry}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[french]{babel}
#+LATEX_HEADER: \usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table]{xcolor}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{palatino}
#+LATEX_HEADER: \usepackage{svg}
#+LATEX_HEADER: \let\epsilon=\varepsilon
*Préambule :* Les explications données dans ce document sur le contexte
de l'étude sont largement reprises de l'excellent livre d'Edward
R. Tufte intitulé /Visual Explanations: Images and Quantities, Evidence
and Narrative/, publié en 1997 par /Graphics Press/ et réédité en 2005,
ainsi que de l'article de Dalal et al. intitulé /Risk Analysis of the
Space Shuttle: Pre-Challenger Prediction of Failure/ et publié en 1989
dans /Journal of the American Statistical Association/.
* Contexte
Dans cette étude, nous vous proposons de revenir sur [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Accident_de_la_navette_spatiale_Challenger][l'accident de la
navette spatiale Challenger]]. Le 28 Janvier 1986, 73 secondes après son
lancement, la navette Challenger se désintègre (voir Figure [[fig:photo]])
et entraîne avec elle, les sept astronautes à son bord. Cette
explosion est due à la défaillance des deux joints toriques
assurant l'étanchéité entre les parties hautes et basses des
propulseurs (voir Figure [[fig:oring]]). Ces joints ont perdu de leur
efficacité en raison du froid particulier qui régnait au moment du
lancement. En effet, la température ce matin là était juste en dessous
de 0°C alors que l'ensemble des vols précédents avaient été effectués
à une température d'au moins 7 à 10°C de plus.
#+NAME: fig:photo
#+ATTR_LATEX: :width 10cm
#+CAPTION: Photos de la catastrophe de Challenger.
file:challenger5.jpg
# #+NAME: fig:photo
# #+ATTR_LATEX: :width 6cm
# #+CAPTION: Photo montage de la catastrophe de Challenger. De gauche à droite, de haut en bas : traînée de fumée après la désintégration de la navette spatiale américaine Challenger 73 secondes après son lancement ; débris d'un propulseur d'appoint à poudre ; joints toriques brûlés, les fautifs de l'accident ; décollage final de Challenger ; cérémonie funéraire tenue par le président Ronald Reagan en hommage aux astronautes ; explosion en vol de Challenger
# file:Challenger_Photo_Montage.jpg
# # From https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Challenger_Photo_Montage.jpg
#+NAME: fig:oring
#+ATTR_LATEX: :width 10cm
#+CAPTION: Schéma des propulseurs de la navette challenger. Les joints toriques (un joint principale et un joint secondaire) en caoutchouc de plus de 11 mètres de circonférence assurent l'étanchéité entre la partie haute et la partie basse du propulseur.
file:o-ring.png
# From https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Challenger_Photo_Montage.jpg
# https://i0.wp.com/www.kylehailey.com/wp-content/uploads/2014/01/Screen-Shot-2013-12-30-at-12.05.04-PM-1024x679.png?zoom=2&resize=594%2C393
Le plus étonnant est que la cause précise de cet accident avait été
débattue intensément plusieurs jours auparavant et était encore
discutée la veille même du décollage, pendant trois heures de
télé-conférence entre les ingénieurs de la Morton Thiokol
(constructeur des moteurs) et de la NASA. Si la cause immédiate de
l'accident (la défaillance des joints toriques) a rapidement été
identifiée, les raisons plus profondes qui ont conduit à ce désastre
servent régulièrement de cas d'étude, que ce soit dans des cours de
management (organisation du travail, décision technique malgré des
pressions politiques, problèmes de communication), de statistiques
(évaluation du risque, modélisation, visualisation de données), ou de
sociologie (symptôme d'un historique, de la bureaucratie et du
conformisme à des normes organisationnelles).
Dans l'étude que nous vous proposons, nous nous intéressons
principalement à l'aspect statistique mais ce n'est donc qu'une
facette (extrêmement limitée) du problème et nous vous invitons à lire
par vous même les documents donnés en référence dans le
préambule. L'étude qui suit reprend donc une partie des analyses
effectuées cette nuit là et dont l'objectif était d'évaluer
l'influence potentielle de la température et de la pression à laquelle
sont soumis les joints toriques sur leur probabilité de
dysfonctionnement. Pour cela, nous disposons des résultats des
expériences réalisées par les ingénieurs de la NASA durant les 6
années précédant le lancement de la navette Challenger.
Dans le répertoire ~module2/exo5/~ de votre espace =gitlab=, vous
trouverez les données d'origine ainsi qu'une analyse pour chacun des
différents parcours proposés. Cette analyse comporte quatre étapes :
1. Chargement des données
2. Inspection graphique des données
3. Estimation de l'influence de la température
4. Estimation de la probabilité de dysfonctionnement des joints
toriques
Les deux premières étapes ne supposent que des compétences de base en
R ou en Python. La troisième étape suppose une familiarité avec la
régression logistique (généralement abordée en L3 ou M1 de stats,
économétrie, bio-statistique...) et la quatrième étape des bases de
probabilités (niveau lycée). Nous vous présentons donc dans la
prochaine section une introduction à la régression logistique qui ne
s'attarde pas sur les détails du calcul, mais juste sur le sens donné
aux résultats de cette régression.
* Introduction à la régression logistique
Imaginons que l'on dispose des données suivantes qui indiquent pour
une cohorte d'individus s'ils ont déclaré une maladie particulière ou
pas. Je montre ici l'analyse avec R mais le code Python n'est pas forcément
très éloigné. Les données sont stockées dans une data frame dont voici
un bref résumé :
#+begin_src R :results output :session *R* :exports none
library(Hmisc) # pour calculer un intervalle de confiance sur des données binomiales
library(ggplot2)
library(dplyr)
set.seed(42)
proba = function(age) {
val=(age-50)/4
return(exp(val)/(1+exp(val)))
}
df = data.frame(Age = runif(400,min=22,max=80))
df$Malade = sapply(df$Age, function(x) rbinom(n=1,size=1,prob=proba(x)))
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_example
Le chargement a nécessité le package : lattice
Le chargement a nécessité le package : survival
Le chargement a nécessité le package : Formula
Le chargement a nécessité le package : ggplot2
Attachement du package : ‘Hmisc’
The following objects are masked from ‘package:base’:
format.pval, units
Attachement du package : ‘dplyr’
The following objects are masked from ‘package:Hmisc’:
src, summarize
The following objects are masked from ‘package:stats’:
filter, lag
The following objects are masked from ‘package:base’:
intersect, setdiff, setequal, union
#+end_example
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
summary(df)
str(df)
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_example
Age Malade
Min. :22.01 Min. :0.000
1st Qu.:35.85 1st Qu.:0.000
Median :50.37 Median :1.000
Mean :50.83 Mean :0.515
3rd Qu.:65.37 3rd Qu.:1.000
Max. :79.80 Max. :1.000
'data.frame': 400 obs. of 2 variables:
$ Age : num 75.1 76.4 38.6 70.2 59.2 ...
$ Malade: int 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ...
#+end_example
Voici une représentation graphique des données qui permet de mieux
percevoir le lien qu'il peut y avoir entre l'âge et le fait de
contracter cette maladie ou pas :
#+begin_src R :results output graphics :file fig1.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) + theme_bw()
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig1.svg]]
Il apparaît clairement sur ces données que plus l'on est âgé, plus la
probabilité de développer cette maladie est importante. Mais comment
estimer cette probabilité à partir uniquement de ces valeurs binaires
(malade/pas malade) ? Pour chaque tranche d'âge (par exemple de 5 ans),
on pourrait regarder la fréquence de la maladie (le code qui suit est
un peu compliqué car le calcul de l'intervalle de confiance pour ce
type de données nécessite un traitement particulier via la fonction
=binconf=).
#+begin_src R :results output graphics :file fig1bis.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
age_range=5
df_grouped = df %>% mutate(Age=age_range*(floor(Age/age_range)+.5)) %>%
group_by(Age) %>% summarise(Malade=sum(Malade),N=n()) %>%
rowwise() %>%
do(data.frame(Age=.$Age, binconf(.$Malade, .$N, alpha=0.05))) %>%
as.data.frame()
ggplot(df_grouped,aes(x=Age)) + geom_point(data=df,aes(y=Malade),alpha=.3,size=3) +
geom_errorbar(data=df_grouped,
aes(x=Age,ymin=Lower, ymax=Upper, y=PointEst), color="darkred") +
geom_point(data=df_grouped, aes(x=Age, y=PointEst), size=3, shape=21, color="darkred") +
theme_bw()
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig1bis.svg]]
L'inconvénient de cette approche est que ce calcul est effectué
indépendemment pour chaque tranches d'âges, que la tranche d'âge est
arbitraire, et qu'on n'a pas grande idée de la façon dont ça
évolue. Pour modéliser cette évolution de façon plus continue, on
pourrait tenter une régression linéaire (le modèle le plus simple
possible pour rendre compte de l'influence d'un paramètre) et ainsi
estimer l'effet de l'âge sur la probabilité d'être malade :
#+begin_src R :results output graphics :file fig2.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() + geom_smooth(method="lm")
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig2.svg]]
La ligne bleue est la régression linéaire au sens des moindres carrés
et la zone grise est la zone de confiance à 95% de cette
estimation (avec les données dont on dispose et cette hypothèse de
linéarité, la ligne bleue est la plus probable et il y a 95% de chance
que la vraie ligne soit dans cette zone grise).
Mais on voit clairement dans cette représentation graphique que cette
estimation n'a aucun sens. Une probabilité doit être comprise entre 0
et 1 et avec une régression linéaire on arrivera forcément pour des
valeurs un peu extrêmes (jeune ou âgé) à des prédictions aberrantes
(négative ou supérieures à 1). C'est tout simplement dû au fait qu'une
régression linéaire fait l'hypothèse que $\textsf{Malade} =
\alpha.\textsf{Age} + \beta + \epsilon$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels et $\epsilon$
est un bruit (une variable aléatoire de moyenne nulle), et estime $\alpha$
et $\beta$ à partir des données.
Cette technique n'a pas de sens pour estimer une probabilité et il
convient donc d'utiliser ce que l'on appelle une [[https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_logistique][régression
logistique]] :
#+begin_src R :results output graphics :file fig3.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df,aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() +
geom_smooth(method = "glm",
method.args = list(family = "binomial")) + xlim(20,80)
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig3.svg]]
Ici, la bibliothèque =ggplot= fait tous les calculs de régression
logistique pour nous et nous montre uniquement le résultat "graphique"
mais dans l'analyse que nous vous proposerons pour Challenger, nous
réalisons la régression et la prédiction à la main (en =R= ou en =Python=
selon le parcours que vous choisirez) de façon à pouvoir effectuer si
besoin une inspection plus fine. Comme avant, la courbe bleue indique
l'estimation de la probabilité d'être malade en fonction de l'âge et
la zone grise nous donne des indications sur l'incertitude de cette
estimation, i.e., "sous ces hypothèses et étant donné le peu de
données qu'on a et leur variabilité, il y a 95% de chances pour que la
vraie courbe se trouve quelque part (n'importe où) dans la zone
grise".
Dans ce modèle, on suppose que $P[\textsf{Malade}] = \pi(\textsf{Age})$ avec
$\displaystyle\pi(x)=\frac{e^{\alpha.x + \beta}}{1+e^{\alpha.x + \beta}}$. Cette
formule (étrange au premier abord) a la bonne propriété de nous donner
systématiquement une valeur comprise entre 0 et 1 et de bien tendre
rapidement vers $0$ quand l'âge tend vers $-\infty$ et vers $1$ quand l'âge
tend vers $+\infty$ (mais ce n'est pas bien sûr pas la seule motivation).
En conclusion, lorsque l'on dispose de données évènementielles
(binaires) et que l'on souhaite estimer l'influence d'un paramètre sur
la probabilité d'occurrence de l'évènement (maladie, défaillance...),
le modèle le plus naturel et le plus simple est celui de la
régression logistique. Notez, que même en se restreignant à une petite
partie des données (par exemple, uniquement les patients de moins de
50 ans), il est possible d'obtenir une estimation assez raisonnable,
même si, comme on pouvait s'y attendre, l'incertitude augmente
singulièrement.
#+begin_src R :results output graphics :file fig4.svg :exports both :width 4 :height 3 :session *R*
ggplot(df[df$Age<50,],aes(x=Age,y=Malade)) + geom_point(alpha=.3,size=3) +
theme_bw() +
geom_smooth(method = "glm",
method.args = list(family = "binomial"),fullrange = TRUE) + xlim(20,80)
#+end_src
#+ATTR_LATEX: :width 8cm
#+RESULTS:
[[file:fig4.svg]]
* Emacs Setup :noexport:
This document has local variables in its postembule, which should
allow Org-mode (9) to work seamlessly without any setup. If you're
uncomfortable using such variables, you can safely ignore them at
startup. Exporting may require that you copy them in your .emacs.
# Local Variables:
# eval: (add-to-list 'org-latex-packages-alist '("" "minted"))
# eval: (setq org-latex-listings 'minted)
# eval: (setq org-latex-minted-options '(("style" "Tango") ("bgcolor" "Moccasin") ("frame" "lines") ("linenos" "true") ("fontsize" "\\small")))
# eval: (setq org-latex-pdf-process '("pdflatex -shell-escape -interaction nonstopmode -output-directory %o %f" "pdflatex -shell-escape -interaction nonstopmode -output-directory %o %f" "pdflatex -shell-escape -interaction nonstopmode -output-directory %o %f"))
# End:
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