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title: "Exercice 2 MOOC "
author: "Frédérique"
date: "2022-11-13"
output: html_document
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# A propos du calcul de pi

### Arnaud Legrand

### 25 juin 2018

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## En demandant à la lib maths

#### Mon ordinateur m'indique que π vaut *approximativement*

```{r pi, include=TRUE}
pi
```

## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon

#### Mais calculé avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :

```{r Buffon, include=TRUE}
set.seed(42)
N = 100000
x = runif(N)
theta = pi/2*runif(N)
2/(mean(x+sin(theta)>1))
```

## Avec un argument "fréquentiel" de surface

#### Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si **X∼U(0,1)** et **Y∼U(0,1)** alors **P[X²+Y²≤1]=π/4** (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait:

```{r argument fréquentiel de surface, echo=TRUE}
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
```

#### Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de π en comptant combien de fois, en moyenne, **X²+Y²** est inférieur à 1:

```{r moyenne, incule=TRUE}
4*mean(df$Accept)
```