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#+TITLE: À propos du calcul de $\pi$ #+TITLE: Votre titre
#+LANGUAGE: fr #+AUTHOR: Votre nom
#+DATE: La date du jour
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/> #+LANGUAGE: fr
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/> # #+PROPERTY: header-args :eval never-export
#+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script> #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script> #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script> #+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
#+PROPERTY: header-args :session :exports both #+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>
* En demandant à la lib maths
Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut /approximativement/: * Quelques explications
#+begin_src python :results value :session *python* :exports both Ceci est un document org-mode avec quelques exemples de code
from math import * python. Une fois ouvert dans emacs, ce document peut aisément être
pi exporté au format HTML, PDF, et Office. Pour plus de détails sur
#+end_src org-mode vous pouvez consulter https://orgmode.org/guide/.
#+RESULTS: Lorsque vous utiliserez le raccourci =C-c C-e h o=, ce document sera
: 3.141592653589793 compilé en html. Tout le code contenu sera ré-exécuté, les résultats
récupérés et inclus dans un document final. Si vous ne souhaitez pas
* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon ré-exécuter tout le code à chaque fois, il vous suffit de supprimer
Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait le # et l'espace qui sont devant le ~#+PROPERTY:~ au début de ce
comme *approximation* : document.
#+begin_src python :results value :session *python* :exports both Comme nous vous l'avons montré dans la vidéo, on inclue du code
import numpy as np python de la façon suivante (et on l'exécute en faisant ~C-c C-c~):
np.random.seed(seed=42)
N = 10000 #+begin_src python :results output :exports both
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1) print("Hello world!")
theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2) #+end_src
2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)
#+end_src #+RESULTS:
: Hello world!
#+RESULTS:
: 3.128911138923655 Voici la même chose, mais avec une session python, donc une
persistance d'un bloc à l'autre (et on l'exécute toujours en faisant
* Avec un argument "fréquentiel" de surface ~C-c C-c~).
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas #+begin_src python :results output :session :exports both
intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X\sim import numpy
U(0,1)$ et $Y\sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2\leq 1] = \pi/4$ (voir [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%25C3%25A9thode_de_Monte-Carlo#D%25C3%25A9termination_de_la_valeur_de_%25CF%2580][méthode de x=numpy.linspace(-15,15)
Monte Carlo sur Wikipedia]]). Le code suivant illustre ce fait : print(x)
#+end_src
#+begin_src python :results output file :var matplot_lib_filename="figure_pi_mc2.png" :exports both :session *python*
import matplotlib.pyplot as plt #+RESULTS:
#+begin_example
np.random.seed(seed=42) [-15. -14.3877551 -13.7755102 -13.16326531 -12.55102041
N = 1000 -11.93877551 -11.32653061 -10.71428571 -10.10204082 -9.48979592
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1) -8.87755102 -8.26530612 -7.65306122 -7.04081633 -6.42857143
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1) -5.81632653 -5.20408163 -4.59183673 -3.97959184 -3.36734694
-2.75510204 -2.14285714 -1.53061224 -0.91836735 -0.30612245
accept = (x*x+y*y) <= 1 0.30612245 0.91836735 1.53061224 2.14285714 2.75510204
reject = np.logical_not(accept) 3.36734694 3.97959184 4.59183673 5.20408163 5.81632653
6.42857143 7.04081633 7.65306122 8.26530612 8.87755102
fig, ax = plt.subplots(1) 9.48979592 10.10204082 10.71428571 11.32653061 11.93877551
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None) 12.55102041 13.16326531 13.7755102 14.3877551 15. ]
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None) #+end_example
ax.set_aspect('equal')
Et enfin, voici un exemple de sortie graphique:
plt.savefig(matplot_lib_filename) #+begin_src python :results output file :session :var matplot_lib_filename="./cosxsx.png" :exports results
print(matplot_lib_filename) import matplotlib.pyplot as plt
#+end_src
plt.figure(figsize=(10,5))
#+RESULTS: plt.plot(x,numpy.cos(x)/x)
[[file:figure_pi_mc2.png]] plt.tight_layout()
Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en plt.savefig(matplot_lib_filename)
comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 : print(matplot_lib_filename)
#+end_src
#+begin_src python :results output :session *python* :exports both
4*np.mean(accept) #+RESULTS:
#+end_src [[file:./cosxsx.png]]
#+RESULTS: Vous remarquerez le paramètre ~:exports results~ qui indique que le code
: 3.112
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