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@@ -21,4 +21,27 @@ N = 100000
 x = runif(N)
 theta = pi/2*runif(N)
 2/(mean(x+sin(theta)>1))
-```
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+```
+
+# Avec un argument "fréquentiel" de surface
+
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X∼U(0,1)$ et $Y∼U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2≤1]=π/4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80). Le code suivant illustre ce fait:
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+```
+
+Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$
+ en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2+Y^2$ est inférieur à 1:
+ 
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
+
+```
+ 
+ 
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