Pi

module2/exo1/toy_document_orgmode_python_fr.org

-#+TITLE:  Votre titre
-#+AUTHOR: Votre nom
-#+DATE:   La date du jour
+#+TITLE: À propos du calcul de $\pi$
+#+AUTHOR: Anthony Scemama
+#+DATE:   \today
 #+LANGUAGE: fr
-# #+PROPERTY: header-args :eval never-export
+#+PROPERTY: header-args :eval never-export
 
 #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
 #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
@@ -11,83 +11,69 @@
 #+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
 #+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>
 
-* Quelques explications
+* En demandant à la lib maths
 
-Ceci est un document org-mode avec quelques exemples de code
-python. Une fois ouvert dans emacs, ce document peut aisément être
-exporté au format HTML, PDF, et Office. Pour plus de détails sur
-org-mode vous pouvez consulter https://orgmode.org/guide/.
+  Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut /approximativement/:
+  #+begin_src python :results ouptut :session :exports both
+    from math import *
+    pi
+  #+end_src
 
-Lorsque vous utiliserez le raccourci =C-c C-e h o=, ce document sera
-compilé en html. Tout le code contenu sera ré-exécuté, les résultats
-récupérés et inclus dans un document final. Si vous ne souhaitez pas
-ré-exécuter tout le code à chaque fois, il vous suffit de supprimer
-le # et l'espace qui sont devant le ~#+PROPERTY:~ au début de ce
-document.
+  #+RESULTS:
+  : 3.141592653589793
+  
+* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
 
-Comme nous vous l'avons montré dans la vidéo, on inclue du code
-python de la façon suivante (et on l'exécute en faisant ~C-c C-c~):
+  Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][Aiguilles de Buffon]], on obtiendrait comme *approximation* :
 
-#+begin_src python :results output :exports both
-print("Hello world!")
-#+end_src
+  #+begin_src python :results ouptut :session :exports both
+    import numpy as np
+    np.random.seed(seed=42)
+    N = 10000
+    x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+    theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
+    2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)
+  #+end_src 
 
-#+RESULTS:
-: Hello world!
+  #+RESULTS:
+  : 3.12891113892
 
-Voici la même chose, mais avec une session python, donc une
-persistance d'un bloc à l'autre (et on l'exécute toujours en faisant
-~C-c C-c~).
-#+begin_src python :results output :session :exports both
-import numpy
-x=numpy.linspace(-15,15)
-print(x)
-#+end_src
+* Avec un argument "fréquentiel" de surface 
 
-#+RESULTS:
-#+begin_example
-[-15.         -14.3877551  -13.7755102  -13.16326531 -12.55102041
- -11.93877551 -11.32653061 -10.71428571 -10.10204082  -9.48979592
-  -8.87755102  -8.26530612  -7.65306122  -7.04081633  -6.42857143
-  -5.81632653  -5.20408163  -4.59183673  -3.97959184  -3.36734694
-  -2.75510204  -2.14285714  -1.53061224  -0.91836735  -0.30612245
-   0.30612245   0.91836735   1.53061224   2.14285714   2.75510204
-   3.36734694   3.97959184   4.59183673   5.20408163   5.81632653
-   6.42857143   7.04081633   7.65306122   8.26530612   8.87755102
-   9.48979592  10.10204082  10.71428571  11.32653061  11.93877551
-  12.55102041  13.16326531  13.7755102   14.3877551   15.        ]
-#+end_example
-
-Et enfin, voici un exemple de sortie graphique:
-#+begin_src python :results output file :session :var matplot_lib_filename="./cosxsx.png" :exports results
-import matplotlib.pyplot as plt
-
-plt.figure(figsize=(10,5))
-plt.plot(x,numpy.cos(x)/x)
-plt.tight_layout()
-
-plt.savefig(matplot_lib_filename)
-print(matplot_lib_filename)
-#+end_src
+  Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir
+  d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X\sim U(0,1)$ et
+  $Y\sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2 \le 1]=\pi/4$ (voir
+  [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]). Le code suivant illustre ce fait :
+
+  #+begin_src python :results output file :session :var matplot_lib_filename="./freq.png" :exports both
+    import matplotlib.pyplot as plt
+
+    np.random.seed(seed=42)
+    N = 1000
+    x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+    y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+
+    accept = (x*x+y*y) <= 1
+    reject = np.logical_not(accept)
+
+    fig, ax = plt.subplots(1)
+    ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
+    ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
+    ax.set_aspect('equal')
+
+    plt.savefig(matplot_lib_filename)
+    print(matplot_lib_filename)
+  #+end_src
 
 #+RESULTS:
-[[file:./cosxsx.png]]
-
-Vous remarquerez le paramètre ~:exports results~ qui indique que le code
-ne doit pas apparaître dans la version finale du document. Nous vous
-recommandons dans le cadre de ce MOOC de ne pas changer ce paramètre
-(indiquer ~both~) car l'objectif est que vos analyses de données soient
-parfaitement transparentes pour être reproductibles.
-
-Attention, la figure ainsi générée n'est pas stockée dans le document
-org. C'est un fichier ordinaire, ici nommé ~cosxsx.png~. N'oubliez pas
-de le committer si vous voulez que votre analyse soit lisible et
-compréhensible sur GitLab.
-
-Enfin, n'oubliez pas que nous vous fournissons dans les ressources de
-ce MOOC une configuration avec un certain nombre de raccourcis
-claviers permettant de créer rapidement les blocs de code python (en
-faisant ~<p~, ~<P~ ou ~<PP~ suivi de ~Tab~).
-
-Maintenant, à vous de jouer! Vous pouvez effacer toutes ces
-informations et les remplacer par votre document computationnel.
+[[file:./freq.png]]
+
+ Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant
+ combien de fois, en moyenne, $X^2+Y^2$ est inférieur à 1 :
+
+  #+begin_src python :results ouptut :session :exports both
+    4*np.mean(accept)
+  #+end_src
+
+  #+RESULTS:
+  : 3.112