Ma réponse à l'exercice 2

module2/exo1/toy_document_fr.Rmd

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-title: "Mon essai de recherche reproductible pour le Mooc"
+title: "À propos du calcul de pi"
 author: "Sophie Drogué"
 date: "Le 18 novembre 2021"
-output: html_document
+output: html_document 
+ 
 ---
 
 
@@ -10,24 +11,40 @@ output: html_document
 knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
 ```
 
-## Quelques explications
+## En demandant à la lib maths
 
-Ceci est un document R markdown que vous pouvez aisément exporter au format HTML, PDF, et MS Word. Pour plus de détails sur R Markdown consultez <http://rmarkdown.rstudio.com>.
-
-Lorsque vous cliquerez sur le bouton **Knit** ce document sera compilé afin de ré-exécuter le code R et d'inclure les résultats dans un document final. Comme nous vous l'avons montré dans la vidéo, on inclue du code R de la façon suivante:
+Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut *approximativement*
 
 ```{r cars}
-summary(cars)
+pi
 ```
 
-Et on peut aussi aisément inclure des figures. Par exemple:
+## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+Mais calculé avec la __méthode__ des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme __approximation__ :
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N=100000
+x=runif(N)
+theta = pi/2*runif(N)
+2/(mean(x+sin(theta)>1))
 
-```{r pressure, echo=FALSE}
-plot(pressure)
 ```
 
-Vous remarquerez le paramètre `echo = FALSE` qui indique que le code ne doit pas apparaître dans la version finale du document. Nous vous recommandons dans le cadre de ce MOOC de ne pas utiliser ce paramètre car l'objectif est que vos analyses de données soient parfaitement transparentes pour être reproductibles. 
+## Avec un argument fréquentiel de surface
+Sinon, avec une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X/sim U(0,1)$ et $Y/sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2\leq 1]= \pi/4$ voir (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+```
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
+```
 
-Comme les résultats ne sont pas stockés dans les fichiers Rmd, pour faciliter la relecture de vos analyses par d'autres personnes, vous aurez donc intérêt à générer un HTML ou un PDF et à le commiter.
 
-Maintenant, à vous de jouer! Vous pouvez effacer toutes ces informations et les remplacer par votre document computationnel.