module2/exo1/toy_document_orgmode_python_fr.org

+#+TITLE: À propos du calcul de \(\pi\)
+#+AUTHOR: Konrad Hinsen
+#+DATE: 2019-03-28
+
+* En demandant à la lib maths
+
+Mon ordinateur m'indique que \(\pi\) vaut *approximativement* :
+
+#+Begin_src python :results value :exports both :session
+from math import *
+pi
+#+End_Src
+
+#+RESULTS:
+: 3.141592653589793
+
+
+* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+
+Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait
+comme *approximation* :
+
+#+begin_src python :results value :exports both :session
+import numpy as np
+np.random.seed(seed=42)
+N = 10000
+x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
+2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+: 3.128911138923655
+
+
+
+* Avec un argument "fréquentiel" de surface
+
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas
+intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si \(X \sim
+U(0,1)\) et \(Y \sim U(0,1)\) alors \(P[X^2+Y^2 \leq 1] = \pi/4\)
+(voir [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]). Le code suivant illustre ce fait :
+
+#+begin_src python :results output :exports both :session
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+np.random.seed(seed=42)
+N = 1000
+x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+
+accept = (x*x + y*y) <= 1
+reject = np.logical_not(accept)
+
+fig, ax = plt.subplots(1)
+ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
+ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
+ax.set_aspect('equal')
+
+matplot_lib_filename = "figure_pi_mc2.png"
+plt.savefig(matplot_lib_filename)
+print(matplot_lib_filename)
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+: figure_pi_mc2.png
+
+#+CAPTION: Points acceptés/rejetés dans le disque unité
+[[file:figure_pi_mc2.png]]
+
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \(\pi\) en
+comptant combien de fois, en moyenne, \(X^2 + Y^2\) est inférieur à 1 :
+
+#+begin_src python :results output :exports both :session
+4 * np.mean(accept)
+#+END_SRC
+
+#+RESULTS:
+
+