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"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"1\n",
"# À propos du calcul de $\\pi$\n",
"---\n",
"title: \"À Propos du calcul de pi\"\n",
"author: \"Arnaud Legrand\"\n",
"date: \"06/25/2020\"\n",
"output: html_document\n",
"---\n",
"\n",
"1\n",
"## En demandant à la lib maths\n",
"2\n",
"Mon ordinateur m'indique que $\\pi$ vaut *approximativement*\n",
"In [1]:\n",
"Mon ordinateur m'indique que \\pi vaut *approximativement*\n",
"\n",
"1\n",
"from math import *\n",
"2\n",
"print(pi)\n",
"3.141592653589793\n",
"```{r}\n",
"pi\n",
"```\n",
"\n",
"1\n",
"## En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon\n",
"2\n",
"Mais calculé avec la __méthode__ des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme __approximation__ :\n",
"3\n",
"​\n",
"In [2]:\n",
"## En tulisant la méthode des aiguilles de Buffon\n",
"Mais calculer avec la **méthode** des [aiguilles de Buffon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon), on obtiendrait comme **approximation** :\n",
"```{r}\n",
"set.seed(42)\n",
"N = 100000\n",
"x = runif(N)\n",
"theta = pi/2*runif(N)\n",
"2/(mean(x+sin(theta)>1))\n",
"```\n",
"\n",
"1\n",
"import numpy as np\n",
"2\n",
"np.random.seed(seed=42)\n",
"3\n",
"N = 10000\n",
"4\n",
"x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)\n",
"5\n",
"theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)\n",
"6\n",
"2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)\n",
"3.1289111389236548\n",
"## Avec un argument “fréquentiel” de surface\n",
"\n",
"1\n",
"## Avec un argument \"fréquentiel\" de surface\n",
"2\n",
"Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X\\sim U(0,1)$ et $Y\\sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2\\leq 1] = \\pi/4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :\n",
"In [3]:\n",
"Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si X∼U(0,1) et Y∼U(0,1) alors P[X2+Y2≤1]=\\pi/4 (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Monte-Carlo#Détermination_de_la_valeur_de_π)). Le code suivant illustre ce fait:\n",
"\n",
"1\n",
"%matplotlib inline \n",
"2\n",
"import matplotlib.pyplot as plt\n",
"3\n",
"​\n",
"4\n",
"np.random.seed(seed=42)\n",
"5\n",
"```{r}\n",
"set.seed(42)\n",
"N = 1000\n",
"6\n",
"x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)\n",
"7\n",
"y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)\n",
"8\n",
"​\n",
"9\n",
"accept = (x*x+y*y) <= 1\n",
"10\n",
"reject = np.logical_not(accept)\n",
"11\n",
"​\n",
"12\n",
"fig, ax = plt.subplots(1)\n",
"13\n",
"ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)\n",
"14\n",
"ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)\n",
"15\n",
"ax.set_aspect('equal')\n",
"df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))\n",
"df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)\n",
"library(ggplot2)\n",
"ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()\n",
"```\n",
"\n",
"Il est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de \\pi en comptant combien de fois, en moyenne, X2+Y2 est inférieur à 1:\n",
"\n",
"1\n",
"Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :\n",
"In [4]:\n",
"\n",
"1\n",
"4*np.mean(accept)\n",
"3.1120000000000001\n"
"```{r}\n",
"4*mean(df$Accept)\n",
"```\n"
]
}
],
......
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