maj exo1 + sortie

module2/exo1/toy_document_fr.Rmd

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-title: "A propos du calcul de Pi"
+title: "À propos du calcul de Pi"
 author: "*Arnaud Legrand*"
 date: "*25 juin 2018*"
 output: html_document
@@ -26,3 +26,19 @@ theta = pi/2*runif(N)
 2/(mean(x+sin(theta)>1))
 ```
 
+# Avec un argument "fréquentiel" de surface
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X \sim U(0,1)$ et $Y \sim U(0,1)$ alors $P[X²+Y²\le 1 = \pi/4$ (voir [méthode de Monte Carlo sur Wikipédia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait :
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+```
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X²+Y²$ est inférieur à 1 :
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
+```
+
+