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module1/exo2/toy_document_fr.Rmd

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+output:
+  pdf_document: default
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+```{r setup, include=FALSE}
+knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
+```
+
+
+# A propos du calcul de pi
+
+*Arnaud Legrand*
+
+*25 juin 2018*
+
+# En demandant à la lib maths
+Mon ordinateur m'indique que $\pi$ vaut *approximativement*
+
+
+```{r cars}
+pi
+```
+
+# En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+Mais calculé avec la **méthode** des aiguilles de Buffon, on obtiendrait comme **approximation** :
+
+```{r pressure}
+set.seed(42)
+N = 100000
+x = runif(N)
+theta = pi/2*runif(N)
+2/(mean(x+sin(theta)>1))
+```
+
+# Avec un argument “fréquentiel” de surface
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d’appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X ~ U(0,1)$ et $Y ~ U(0,1)$ alors $P[X^2 + Y^2 \leq 1] = \frac{\pi}{4}$ ([voir méthode de Monte Carlo sur Wikipédia](https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80)). Le code suivant illustre ce fait:
+
+```{r}
+set.seed(42)
+N = 1000
+df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
+df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <=1)
+library(ggplot2)
+ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
+
+```
+
+l est alors aisé d’obtenir une approximation (pas terrible) de $\pi$ en comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1:
+
+```{r}
+4*mean(df$Accept)
+```
+
+
+
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